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《6.3.1平面向量基本定理》教案
课题
6.3.1平面向量基本定理
单元
第六单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是平面向量基本定理,由平面向量共线定理导入,学习平面向量基本定理,为平面向量的坐标表示做铺垫。
教学目标与核心素养
1.数学抽象:利用平面向量共线定理将平面向量基本定理具体化;
2.逻辑推理:通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力;
3.数学建模:掌握平面向量基本定理;
4.直观想象:利用平行四边形法则推导并掌握平面向量基本定理;
5.数学运算:能够正确运用平面向量基本定理;
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程,让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
平面向量基本定理
难点
平面向量基本定理
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
旧知导入:
思考1:向量的加法运算是什么运算法则呢?
三角形法则 作平移,首尾连,由起点指终点
平行四边形法则
作平移,共起点,四边形,对角线
思考2:平面中的非零共线向量该如何表示?
思考3:根据思考1和2,你有什么猜想?
平面内任一向量可以由同一平面内的两个不共线向量表示。 我们知道:已知两个力,可以求出它们的合力;反过来,一个力可以分解为两个力。
思考4:物理中我们根据什么方法进行力的分解?
平行四边形法则。
由此我们推断出:可以通过作平行四边形,用同一平面内的两个不共线的向量表示平面内任一向量。
学生思考问题,引出本节新课内容。
设置问题情境,回顾旧知,激发学生学习兴趣,并引出本节新课。
讲授新课
知识探究(一):平面向量基本定理
思考1:你能根据上述过程证明以下结论吗?
思考2:根据上述讨论你能得到什么结论?
平面向量基本定理:
思考3:
小试牛刀
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面向量的一个基底{e1,e2}中,e1,e2一定都是非零向量.(√ )
(2)在平面向量基本定理中,若a=0,则λ1=λ2=0.( √ )
(3)在平面向量基本定理中,若a∥e1,则λ2=0;若a∥e2,则λ1=0.( √ )
(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.( × )
2.做一做
(1)设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( B )
A.{e1,e2} B.{e1+e2,3e1+3e2}
C.{e1,5e2} D.{e1,e1+e2}
(2)在△ABC中,D为BC边上靠近点B的三等分点,若eq \o(AB,\s\up16(→))=a,eq \o(AC,\s\up16(→))=b,则eq \o(AD,\s\up16(→))=___ (用a,b表示).
例题讲解
例1:
思考4:
由此可得结论:
例2:
例3 如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且eq \o(AN,\s\up16(→))=eq \f(1,2)eq \o(NC,\s\up16(→)),BN与CM相交于点E,设eq \o(AB,\s\up16(→))=a,eq \o(AC,\s\up16(→))=b,试用基底{a,b}表示向量eq \o(AE,\s\up16(→)).
[解] 易得eq \o(AN,\s\up16(→))=eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up16(→))=eq \f(1,3)b,eq \o(AM,\s\up16(→))=eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up16(→))=eq \f(1,2)a,
由N,E,B三点共线知存在实数m,
满足eq \o(AE,\s\up16(→))=meq \o(AN,\s\up16(→))+(1-m)eq \o(AB,\s\up16(→))=eq \f(1,3)mb+(1-m)a.
由C,E,M三点共线知存在实数n,
满足eq \o(AE,\s\up16(→))=neq \o(AM,\s\up16(→))+(1-n)eq \o(AC,\s\up16(→))=eq \f(1,2)na+(1-n)b,
所以eq \f(1,3)mb+(1-m)a=eq \f(1,2)na+(1-n)b,
由于{a,b}为基底,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1-m=\f(1,2)n,,\f(1,3)m=1-n,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m=\f(3,5),,n=\f(4,5),))所以eq \o(AE,\s\up16(→))=eq \f(2,5)a+eq \f(1,5)b.
例4 设{e1,e2}是平面内的一个基底,如果eq \o(AB,\s\up16(→))=3e1-2e2,eq \o(BC,\s\up16(→))=4e1+e2,e
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