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高三解答题精选训练二 立体几何大题精选训练 一．仿真精选 1，（杭州桐庐分水高级中学2022届高三第一次模拟）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． （1）求证：平面﹔ （2）若，求二面角的余弦值． 2,，（湘潭市2022届高三第一次模拟）如图，在三棱锥中，底面，，，． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小． 3.（深圳实验学校高中部2021届11月份月考） 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,， 侧面，△是等边三角形， ， ，是线段的中点． （1）求证：； 求与平面所成角的正弦值． 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1. (1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值; (2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长. 5.（2021泰安一模19）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点． （1）若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD； （2）当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E﹣ABC的体积． 高考实战。 1.（2021全国甲卷理科19）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 2.[2020·新高考卷Ⅰ(山东)-T20]如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 3.(2019·浙江)如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 答案 仿真精选 1.解：（1）取的中点，连接、， 在中，因为为中点，为中点，所以，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 又因为点为的中点，所以，且， 所以且，从而四边形为平行四边形，所以， 又平面﹐平面，所以平面； （2）在直三棱柱中，平面，平面，则， 因为，，所， 故，，从而． 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则、、、， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得，令，得， 设平面的法向量为， 则，即，解得，令，得， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 2.解：（1）因为底面，所以，又， 所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）解法一由（1）可知，为二面角的平面角，所以， 又，，，所以， 过点作于，则平面且为中点，连接， 则为直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 故， 所以直线与平面所成的角为60°． 解法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得，，，， 设，（），则，，， 因为，，， 所以， 解得，所以，故， 设平面的法向量为，因为，， 由，得， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为60° 3.解：（1）侧面 ，平面， ………………………………………… 2分 又△等边三角形，是线段的中点， …………………………………………… 3分 ，平面，平面，； …………………………………………………………… 5分 （2）以为原点，以在平面内过且垂直于的直线为轴，以、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，． ，， ．……………………………… 7分 设为平面的一个法向量． 由令，可得， ……………………………… 9分设与平面所成角为，得，……… 11分 所以与平面所成角的正弦值为．…………………………………………… 12分 4.解：以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 因为BP=(-1,0,2), 设BQ=λBP=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1), 又CB=(0,-1,0), 则CQ=CB+BQ=(-λ,-1,2λ), 又DP=(0,-2,2), 从而cosCQ,DP=CQ·DP|CQ 设1+2λ=t,t∈[1,3], 则cos2 CQ,DP=2t25t2-10 当且仅当t=95,即λ=25时,|cosCQ,DP|的最大值为3 因为y=cos x在0,π2上是减函数,所以此时直线CQ与DP所成的角取得最小值 又因为BP=12+22 所以BQ=25BP=25 5解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD， 又AD∩PA＝A，AD、PA?平面