理论力学PPT课件（共17章）第8章质点运动微分方程.pptxVIP

第 8 章 质点运动微分方程 本章内容 1 动力学引言 2 动力学的基本定律 3 质点的运动微分方程 4 质点动力学的两类问题 第一节 动力学引言 动力学则对物体的机械运动进行全面的分析，它研究作用于物体上的力和物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。 第二节 动力学的基本定律 不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。第一定律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。 第二定律（力与加速度之间的关系定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即 式（8-1）是第二定律的数学表达式，它是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。该式表明： （1）质点的加速度矢 与力矢 的方向相同，如图8-1所示。式（8-1）是矢量形式。其中，力应理解为作用于质点的合力，即 （2）力与加速度的关系是瞬时的关系，即只要某瞬时有力作用于质点，则该瞬时质点必有确定的加速度。 （3）如在某一段时间内，没有力作用于质点，则在这段时间内质点没有加速度，质点速度的大小和方向保持不变，质点在这段时间内做惯性运动，这与第一定律是相符合的。 （4）对质量相等的质点，作用于质点的力大，则其加速度也大；如用大小相等的力作用在质量不同的质点上，则质量大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。这说明质点的质量越大，保持原来运动状态的能力越强，即质点的质量越大，质点的惯性也越大。因此，质量是质点惯性的度量。 由上可知，物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，同时也与物体的惯性有关。 式中：P——物体所受的重力； g——物体所受的重力加速度。 在工程中常用工程单位制。在工程单位制中，长度、力和时间的单位是基本单位，分别取为m，kgf和s，并把1 kg质量所受重力作为力的单位，即 第三定律（作用力与反作用力定律） 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 第三节 质点的运动微分方程 代入式（8-1），得 将式（8-4）在直角坐标系Oxyz各轴上投影，得 由动运学有 式中，x，y，z是质点M在直角坐标系Oxyz中的坐标。 将式（8-6）代入式（8-5），得 式（8-7）就是直角坐标形式的质点运动微分方程。 由运动学有 将式（8-9）代入式（8-8），得 式（8-10）就是自然形式的质点运动微分方程。 第四节 质点动力学的两类问题 质点动力学的问题总的来讲可分成两类：第一类问题是已知质点的运动，求作用于质点上的力；第二类问题是已知作用于质点上的力，求质点的运动。 一、质点动力学第一类问题的典型例题 例8-1 解 （1）选取研究对象。选取质点M为研究对象。 （3）选定坐标系。质点M做铅垂直线运动，选轨迹直线为直角坐标轴Ox，并规定向下为正。 （4）建立运动微分方程。质点M直角坐标形式的运动微分方程为 如图8-3所示，有 于是运动微分方程可写为 根据质点M的运动方程，有 于是有 例8-2 （1）导板对物块的最大约束力及此时偏心C的位置。 解 （1）选物块M为研究对象，选坐标轴如图8-4（a）所示。 （3）分析运动。由图8-4（a）可知，M点的运动方程为 点的加速度应为 （4）列质点运动微分方程，求解。由式（8-7）得到 所以 使物块M不离开导板的角速度最大值为 例8-3 解 （1）选质点M为研究对象。 （3）分析运动，列质点运动微分方程，求解。 质点M的运动微分为 代入运动微分方程，得 于是有 例8-4 解 （1）选帆船为研究对象。 （2）受力分析，画受力图。船在铅垂方向的重力和浮力相平衡，故只需画出水平方向的阻力F。 （3）选固定坐标轴Ox，并建立运动微分方程。设船重为G，则船的运动微分方程为 代入运动微分方程，得 分离变量后写为 积分后得 解得 代入运动微分方程，有 积分后得 例8-5 解 （1）选小球M为研究对象，建立直角坐标系Oxy，如图8-7所示。 （2）分析力，画受力图。 小球M的作用力F （3）分析运动。在弹性线恢复力F的作用下，小球M将做曲线运动，其运动规律及运动轨迹将由小球M的运动微分方程来确定。 （4）列运动微分方程，求解。设小球M在Oxy平面内的坐标为 ，则由式（8-5）可得小球的运动微分方程为 将式（a）代入式（b），得 或 式（c）的两个方程均为二阶常系数齐次线性微分方程，其通解为 将式（d）对时间求导数，得 将初始条件式（e）代入式（f），可得 联立求解式（g）～式（j），可得 再将积分常数代入式（d），可得小球M的运动方程为 最后由式（k）、式（l）求得小球的轨迹方程为 例8-6 解 （1）选质点M为研究对