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(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题二数列规范答题示例3数列的通项与求和问题学案理 (全国通用版)2019高考数学二轮复习专题二数列规范答题示例3数列的通项与求和问题学案理 (全国通用版)2019高考数学二轮复习专题二数列规范答题示例3数列的通项与求和问题学案理 规范答题示例 3 数列的通项与 乞降问题 典例 3 (12 分 ) 下表是一个由 n2 个正数构成的数表， 用 aij 表示第 i 行第 j 个数 ( i ，j ∈ N* ) ．已 知数表中第一列各数从上到下挨次构成等差数列，每一行各数从左到右挨次构成等比数列， 且公比都相等．且 a11＝ 1， a31 ＋a61 ＝9， a35＝ 48. a a 12 a 13 a 1n 11 a a 22 a 23 a 2n 21 a a 32 a 33 a 3n 31 n1 a n2 a n3 a nn a (1) 求 an1 和 a4n； (2) 设 b n＝ a4n ＋( － 1) n· n1( ∈ N* ) ，求数列 { b n} 的前 n 项和 n. 4n 4n a n S a －2 a － 1 化简 n 选定乞降方法 审题路线图 数表中项的规律 ―→ 确立 a 和 a ――――→ b n1 4n n 分组法及裂项法、公式法乞降 规范解答·分 步 得 分 建立答题模板 1 解 (1) 设第 1 列挨次构成的等差数列的公差为 d，设每一行 挨次构成的等比数列的公比为 q. 依题意 a31＋ a61＝ (1 ＋ 2d) ＋ (1 ＋ 5d) ＝ 9，∴ d＝ 1， * ∴ an1＝ a11＋( n－ 1) d＝1＋ ( n－1) ×1＝ n( n∈ N ) ， 3 分 ∵ a31＝ a11＋2d＝ 3，∴ a35＝a31 ·q4＝ 3q4＝ 48， ∵ q0，∴ q＝ 2，又∵ a41＝4， a4n＝ a41qn－1＝4×2n－ 1＝ 2n＋ 1( n∈ N* ).6 分 n a4n n n (2) ∵ b ＝ a4n－ 2 a4n－ 1 ＋( －1) a 1 ＝n＋ 1 2n＋ 1 n＋1 － 1 ＋ ( － 1) n· n7 分 2－22 ＝n 2n n 1 1 ＋( －1) n ·n， n＋ 1 － 1 ＋ ( － 1) ·n＝ n － n＋ 1 2－1 2 2 － 1 2 － 1 1－ 1 1 1 1 1 1 1 ＋ [ － n 3 ＋ － 7 ＋ － 15 ＋ ＋ n － 1 － n＋1 ∴ S ＝ 3 7 2 2 － 1 1＋ 2－3＋ 4－ 5＋ ＋ ( －1) nn] ， 10 分 n 当 n 为偶数时， Sn＝ 1－ 2n＋1－ 1＋2， 11 分 n－ 1 2 ＋－n n n＋1 1 n＋ 1 1－ n 1 ＝ 1－2n＋ 1－ 1－ 2 ＝ 2 － 2n＋ 1－ 1.12 分  第一步 找关系：依据已知条件确立 数列的项之间的关系． 第二步 求通项：依据等差或等比数 列的通项公式或利用累加、 累乘法求数列的通项公式． 第三步 定方法：依据数列表达式的 构造特点确立乞降方法 ( 常 用的有公式法、 裂项相消法、 错位相减法、分组法等 ) ． 第四步 写步骤 . 第五步 再反省：检查乞降过程中各 项的符号有无错误，用特别 项估量结果 . 评分细则 (1) 求出 d 给 1 分，求 an1 时写出公式结果错误给 1 分；求 q 时没写 q0 扣 1 分； (2) bn 写出正确结果给 1 分，正确进行裂项再给 1 分； 缺乏对 bn 的变形直接计算 Sn，只需结论正确不扣分； 当 n 为奇数时，求 Sn 中间过程缺一步不扣分． 追踪操练 3 (2018 ·全国Ⅱ ) 记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，已知 a1＝－ 7， S3＝－ 15. 求 { an} 的通项公式； 求 Sn，并求 Sn 的最小值． 解 (1) 设{ a } 的公差为 ，由题意得 3 1＋ 3 ＝－ 15. n 由 a1＝－ 7 得 d＝2. 因此 { n} 的通项公式为 n＝ 1＋ ( n －1) ＝2 －9( ∈N*) ． a a a d n n 2 (2) 由 (1) 得 1 ＋a n ＝ －8 ＝( － 4) 2－ 16. n＝a · 2 S 2 n n n n 因此当 n＝ 4 时， Sn 获得最小值，最小值为－ 16. 3