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《理论物理》 之 理论力学;2;3;第6章 分析力学;引言;拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.;二、分析力学的特点;4 引入广义坐标的意义;5 提出新的力学原理代替牛顿定律;一、约束的概念和分类;约束是对物体运动位置或速度的限制。;3. 约束的分类;②不可解约束（双面约束）与可解约束（单面约束）;　　若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为可解约束。可表示为;③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）;;　　例　考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型。假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等， 杆长为l，当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。 选两质点在冰面上的坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，则约束条件为;例：圆环在水平面上作纯滚动。;二、广义坐标; n 个质点，k 个约束的系统的自由度： ;实例分析;运动方程;如果：;讨论;约束与力;真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。;虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关 (? t ? 0)。;虚位移与实位移比较;虚功原理是力学变分原理的微分形式;等时变分;;理想约束 (ideal constraint) ;理想约束;例　质点沿固定的光滑曲面运动，约束方程为;理想约束;;虚功原理（理想约束下力学体系平衡条件）;例1;虚位移 沿着斜面向上或向下，不妨取向下为正。拉力和重力所做的虚功为：;虚位移原理建立了主动力的平衡条件，方程中不出现任何约束反力。;解题步骤;例2 椭圆规机构;（1）几何法;（2）解析法;代入到;广义坐标形式的静力学普遍方程;Qα称为对应广义坐标 qα 的广义力。;广义力是广义坐标和时间的函数。;例3;取?、??为广义坐标;解 解析法;解 几何法;解 几何法;例4;;例5　图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ, 　　　　　　　　;解:解除B端水平约束,以力 代替,如图 (b) ;虚功原理 例6 P177 6.2;虚 功;广义力;;;思考题;用虚功原理理解平衡问题有何优点和缺点？;§6.3 拉格朗日方程;达朗伯－???格朗日方程与牛顿定律等价性;达朗贝尔－拉格朗日方程;如下图所示，建立系统的运动微分方程。;;解法2 解析法;解法3 牛顿定律;例2;;确定研究对象：整体 受力分析：画出作功的主动力 运动分析：分析加速度，确定惯性力 给出虚位移，找出它们之间的关系 几何法：根据约束的几何关系，直接找出各点虚位移之间的关系例如刚体上各点速度间的关系来确定各点虚位移之间的关系； 解析法：对约束方程进行变分，即可求得各点虚位移之间的关系。 列出动力学方程，并求解;讨论;达朗贝尔－拉格朗日方程;广义坐标形式的达朗贝尔—拉格朗日原理;广义惯性力;拉格朗日关系式;;广义动量;;;拉格朗日方程的方程数等于质系自由度数，是最少量方程 不需要考虑理想约束的约束反力 只需要分析速度，不需分析加速度 拉格朗日方程是标量方程;应用拉格朗日方程的解题步骤为;用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程;例2 解;例2 解;用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程。;例3 解;例3 解;如系统中主动力为保守力，且拉格朗日函数L不显含某广义坐标qj：;例如：质点在有心力场中的运动;由于主动力为保守力：;动能的结构;对于定常约束，有 ，;欧勒齐次式定理：;例1 椭圆摆;例1 解;试分析第一积分。;例2 解;例3 二滑块相对滑动问题;例3 解;§6.5 哈密顿正则方程;;勒襄特变换;正则方程;哈密顿正则方程;能量积分与循环积分;能量;循环积分;对哈密顿表述的一些说明：;对哈密顿表述的一些说明：;对哈密顿表述的一些说明：;例 电子的运动;用正则方程求解上述简单问题时，过程反而迂回复杂些，但对比较复杂问题时，具有优越性。;§6.6 泊松括号与泊松定理;泊松括号;正则方程用泊松括号表示;正则方程用泊松括号表示;定义;泊松定理;则有;例;由泊松定理;讨 论;§6.7 哈密顿原理;变分概念;若P及P’是C及C’上对应的两点, 即M和M’ 同时从P1出发, 当M到达P, 则M’到达P’.;等时变分;哈密顿原理;拉格朗日方程;作用函数 表示端点时间和位置的函数时,叫主函数 S;哈密顿原理;试用哈密顿原理导出正则方程;正则方程;§6.8 正则变换;在极坐标系中;正则变换的条件;正则变换条件的推导：;右端;正则方程;;正则函数有依赖于U的选择,U称为母函数，故可设一母函数,则由左式前两式可以求出变换方程。并且