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行列式经典例题 行列式经典例题 PAGE / NUMPAGES 行列式经典例题 大学 行列式经典例题 例 1 计算元素为 aij = | i－ j| 的 n 阶行列式 . 解 方法 1 由题设知， a11 =0， a12 1 ， L , a1n n 1,L ，故 0 1 L n 1 0 1 L n 1 Dn 1 0 L n 2 ri ri 1 1 1 L 1 M O i n ,n 1,L ,2 M O n 1 n 2 L 0 1 1 L 1 n 1 n L L n 1 c j cn 0 2 L L 1 M O O L ( 1)n 1 2n 2 (n 1) j 1,L ,n 1 M 0 2 0 0 L 0 1 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第 0 1 L n 1 1 1 L 方法 2 D n 1 0 L n 2 ri ri 1 1 1 L M O i 1,2,L ,n 1M O n 1 n 2 L 0 n 1 n 2 L 1 0 L 0 c j c1 1 2 L 0 j 2,L ,n M O = ( 1)n 1 2n 2 (n 1) n 1 2n 3 L n 1 例 2. 设 a, b, c 是互异的实数 , 证明 : 的充要条件是 a + b + c =0. 证明 : 考察范德蒙行列式 :  列． 1 1 0 = 行列式 即为 y2 前的系数 . 于是 = 所以 的充要条件是 a + b + c = 0. x 1 0 K 0 例 3 计算 D n = 0 x 1 K 0 M M M M an an 1 an 2 K x a1 解： 方法 1 递推法 按第 1 列展开，有 1 x 1 D n = x D n 1 +（－ 1） n 1 a n x 1 = x D n 1+ a n O O x 1 n 1 由于 D1 = x + a1 ， D2 x 1 ，于是 Dn = x D n 1 + a n =x（ x Dn 2 +a n 1 ） + a n =x 2 D n 2 + a2 x a1 a n 1 x + a n =L = x n 1D 1 + a 2 x n 2 + + a n 1x + a n = xn a1xn 1 L an 1 x an 方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x2 倍， ，第 n 列的 x n 1 倍分别加到第 1 列上 0 1 0 K 0 c1 xc2 x2 x 1 K 0 D n 0 0 x K 0 M M M M an xan 1 an 1 an 2 K x a1 0 1 0 0 K 0 c x2c 3 0 x 1 0 K 0 1 x3 0 x 1 K 0 M M M M M an xan 1 x2an 2 an 1 an 2 an 3 K x a1 0 1 1 x1 x 1 按rn展开 =LL = ( 1) n 1 f x = O O 1 O O f O x x 1 n 1 xn a1 xn 1 L an 1x an 方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式． 1 x 0 0 K 0 0 x 0 K 0 c2 xc1 c3 1c2 0 0 x K 0 D n x L M M M M 1 cn 1 cn x an an 1 an an an 1 an 2 K kn x x x2 按c n展开 k n = x n 1( an an + a2 x n 1 + 1 + +a1 +x) xn 1 xn 2 x = an an 1 x L a1 xn 1 xn 1 0 K 0 0 按 r 展开 x 1 K 0 0 方法 4D n n n 1 ( 1) an + M M M M 0 0 K x 1 x 0 K 0 0 x 1 K 0 0 ( 1)n 2 an 1 0 1 K 0 0 + + ( 1) 2n 1 a2 0 x K 0 0 M M M M M M M M 0 0 K x 1 0 0 K 0 1 x 1 K 0 0 + ( 1)2 n (a1 x) 0 x K 0 0 M M M M 0 0 L 0 x =（－ 1） n 1 （－ 1） n 1 a n +（－ 1） n 2 （－ 1） n 2 a n 1 x + +（－ 1） 2 n 1 （－ 1） a 2 x n 2 +（－ 1） 2n ( a1 +x) xn 1 = an an 1 x L a1 xn 1 xn 例 4． 计算 n 阶行列式： a1