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第五章(多元函数微分学) 练习题
一、填空题
1.
lim
sin( xy)
.
y
( x, y ) (0,0)
2.
lim
(x y)sin
1
.
2
2
( x, y)
(0,0)
x
y
1
3.
lim
[1
sin( xy )] xy
.
( x, y) (0,0)
1
2
y), xy 0, 则 f x (0,1)
4.
设 f (x, y)
xy sin(x
.
0, xy
0
设 z
设 z
设 u
若
xy +1 ( x
0, x 1) ,则 dz
.
ln(1
x2
y2 ) ,则 dz (1,2)
.
1
,则 du
.
x2
y2
z2
f (a,a)
a ,则 lim f (x,a)
f (a, a)
.
x
x a
x
a
9.
设 函 数 u
ln
x2
y2
z2 , 则 它 在 点 M 0 (1, 1,1) 处 的 方 向 导 数 的 最 大 值
为
.
10.
设函数 u
y2
z3
v
(2, 2,1) 的方 向导数
x
,则 它 在点 M 0 (1,1,1)处沿 方向 l
为
.
2
v
v
v
,则
z
11. 设 z xy
, l
i
3 j
v
l
.
2
1
12.
曲线
x
cos ,
y
sin ,
z
tan t 在点
(0,1,1)
处的切线方程是
.
t
t
2
13.
函数 z
xy 在闭域 D
{( x, y) x
0, y 0, x
y 1} 上的最大值是
.
14.
曲面 z
ez
2xy
3 在点 (1,2,0)
处的切平面方程为
.
15.
曲面 : y e2 x
z
0 上点 (1,1,2)
处的法线方程是
.
16.
曲 面
z
x2
y2 与 平 面 2x 4 y z 0
平行的切平面方程
是
.
17.
曲线 x2
y2
z
z2
6, 在点 (1,2, 1) 处切线的方向向量 s
.
x
y
2
18.
设 f (x, y, z)
ex yz2 ,其中 z
z( x, y) 是由方程 x
y z
ex y z 确定的隐函数,则
f x (0,1,1)
.
二、选择题
1.
设 x 0 是 E
R n 的孤立点,则 x0 是 E
的
(
)
(A) 聚点;
(B)
内点;
(C)
外点;
(D)
边界点.
2.
设 x 0 是 E
R n 的内点,则 x 0 是 E 的
(
)
(A) 孤立点;
(B)
边界点;
(C)
聚点;
(D)
外点.
x2
2 y2
, ( x, y)
(0,0)
3.
设 f ( x, y)
x
y
,则 fy (0,0)
(
)
0,
( x, y)
(0,0)
(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
1
4.
若 f ( x, y) 在 x0
( x0 , y0 ) 的两个偏导数
f ( x0 ) , f ( x0 ) 存在,则 (
)
x
y
(A)
f 在 x 0 可微;
(B)
f
在 x0 连续;
(C)
f 在 x0
存在任何方向的方向导数;
(D)
f 在 x0 关于 x 与 y 皆连
续.
5.
二元实值函数
f ( x, y) 的两个偏导数
f , f
在 x 0
( x0 , y0 ) 连续是 f 在 x 0 可微的
x
y
(
)
(A)
充分条件
(B)
必要条件
(C)
充要条件
(D)
既不是充分也不是必要的条件
6.
函数 u
x2
y2
2xz 2 y
3 在点 (1,
1,2) 处的方向导数的最大值为(
)
(A)
4 2 ;
(B)
3 2; (C)
2 2 ;
(D)
2 .
7.
函数 z
x3
y3
3x2
3y 2 的极小值点是 ( )
(A)
(0,0)
(B)
(2, 2)
(C)
(2,0)
(D)
(0, 2)
8.
设 z
f
(x, y) 在 x 0
( x0 , y0 ) 可微 , z 是 f
在 x 0 的全增量 , 则在 x 0 处有 (
)
(A)
z
dz;
(B)
z
f x (x 0 )
x f y ( x0 ) y ;
(C)
z
f x ( x 0 )
dx
f y ( x 0 ) dy ;
(D)
z
dz
( ),(
( x) 2
( y)2 ) .
9.
设 x
z
yf ( x2
z2 ) (其中 f 可微),且能确定隐函数
z f ( x, y) ,则 z
z
y
z
x
y
(
)
(A)
x
y( y
z) f
(x
2
z2 ) ;
(B)
x ;
(C)
x
y( y
2xz) f
(x 2
z2 ) ;
(D)
z .
10. 设方程 y
F (x 2
y2 )
F (x
y)
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