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高中数学立体几何方法题型总结 立体几何 重要定理: 1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面. 2)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 3)平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 4)两个平面垂直性质判定:如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. P5)推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. ,,l,l证明:如图，找O作OA、OB分别垂直于， M12BA PM,OA,PM,OBPM,,,OA,,,PM,,,OB,,因为则. Oθ 一:夹角问题 ? 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. ? 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是( (0:,90:]异面直线所成角:范围: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形;解三角形求出角。(常用 222acabc，,cos到余弦定理) ,,θ2abb (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; AB,AC,cos, (3)向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角) AB,AC o直线与平面所成的角 ,,,,时，?或0bb, 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键; ,llnl,ln向量法:设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有,, ln, sincos,,,,的求法 ln 二面角,,,,l的平面角， 1)定义法:在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线(射线)m、n，则射( 线m和n的夹角,为二面角—l—,的平面角。 , (2)三垂线法:(三垂线定理法:A?α作或证AB?β于B，作BO?棱于O，连AO，则AO?棱l，??AOB 为所求。) nnnn,,,,l,向量法:设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角(或其补角)就是二,1212 nn,12,面角的平面角的大小(若二面角,,,,l的平面角为，则cos,( , nn12二、空间距离问题 m两异面直线间的距离 m//,方法一:转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直mn,, 和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。 ,n,方法二:高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。 点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解; ,,,llnl向量法:点到直线距离:在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距 ,,,n dn,,,，,,，,cos,离为Pn 点到平面的距离 ,方法一:几何法。步骤1:过点P作PO于O，线段PO即为所求。 ,AO,步骤2:计算线段PO的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 等体积法步骤:?在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;?求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形 1的面积S;?由V=S?h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 3 方法二:坐标法。 Pn n,APθOd,AP,cos,n,AP, A,αn 线面距、面面距均可转化为点面距 三、平行与垂直问题 证明直线与平面的平行:(1)转化为线线平行;(2)转化为面面平行. 证明平面与平面平行:(1)转化为线面平行;(2)转化为线面垂直. 证明线线垂直:(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直; 方法(2):用线面垂直实现。 方法(3):三垂线定理及其逆定理。 PO,,,Pl,l,,,,l,m lOAlPA,,,,,m,m,,,OAl,α,,lα 证明线面垂直:(1)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(2)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(3)转化 为该直线垂直于另一个平行平面;(4)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 方法(1):用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 l,AC,βl,,,,,l,AB,,,,,,m,l,, ,l,, ,,mAC,AB,A,,l,m,l,,,,αAC,AB,,,面面垂直: βl,l,, 方法一:用线面垂直实现。,,,,,l,,, α 方