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例:求简支梁的自振 频率和主振型。 l/3 l/3 l/3 解:1)求柔度系数 P=1 P=1 求得频率: 求得主振型: m m 例: 求简支梁的自振 频率和主振型。 l/3 l/3 l/3 m m l/3 另解:如果结构本身和质 量分布都是对称的,则主 振型不是对称就是反对称。 故可取半边结构计算 : 1 对称情况: l/9 1 反对称情况: 例:求图示体系对称振动情况下的频率。 m m m EI EI EI 3m 3m 3m 3m m/2 m 1 2 1 0.5 1 1 0.875 0.25 1 1 3 3 2 1 1 1 Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同,为负时,表示与单位力方向相反。 例3.求图示体系的频率、振型 解: 令 例3.求图示体系的频率、振型 解: 令 例3.求图示体系的频率、振型 解: 令 0.5a 例4. 试求图示梁的自振频率和主振型,梁的EI已知。 1 2 a a a m m 解:(1)计算频率 1 a 1 (2)振型 1 0.277 1 3.61 第一振型 第二振型 例5 求图示体系对称振动情况下的频率。 m m m a a a a a a EI EI EI 解: 因为结构和质量分布均匀对称,其振型也是对称和反对称的,分别取半边结构计算。 对称结构 m2=m/2 m1=m a a a EI EI 第三章 多 自 由 度体系的振动 第三章 多自由度体系的振动 § 3.1 两个自由度体系的自由振动 § 3.2 多自由度体系的自由振动 § 3.3 主振型的正交性和正则坐标 § 3.4 多自由度体系的强迫振动 很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算,如多层房屋的侧向振动,不等高排架的振动,柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等,都应按多自由度体系(multi-degree of freedom system)计算。 3.1 两个自由度体系的自由振动 对具有无限个自由度的弹性结构,精确地处理其振动问题:有时是非常困难的,在某些情况下也并不必要。 在某些特定条件下可对问题作一些简化假定,使一个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系,使原来的问题变得容易求解,能获得原结构体系的主要属性和特征。 针对两个自由体系,介绍三种常用的方法: 平衡力系法、刚度法、柔度法 1、平衡力系法 如图,两集中质量 和 通过三个弹簧 、 和 相互联结,在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为 和 。 3.1 两个自由度体系的自由振动 根据两质量块的平衡条件,可以得到: 表示成矩阵形式: 式中: 整理: 3.1 两个自由度体系的自由振动 2个自由度体系的自由振动写成一般形式: 对于图中结构体系,有 3.1 两个自由度体系的自由振动 假设两个质点为简谐振动,上式的解设为: 位移振幅 和 ,以及频率 和相位角 均为待定参数。 3.1 两个自由度体系的自由振动 1)、在振动过程中,两个质点具有相同的频率 和相同的相位角 。 2)、在振动过程中,两个质点的位移在数值上随时间而变化,但两者的比值始终保持不变: 3.1 两个自由度体系的自由振动 3.1 两个自由度体系的自由振动 齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零,即: 该式是固有频率应满足的条件,称为频率方程或特征方程。(eigen equation or characteristic equation) 利用这个方程可计算固有频率 展开上式,求得 的两个根为: 正实根,仅依赖于结构体系的物理性质,即质量和弹簧刚度。 3.1 两个自由度体系的自由振动 具有两个自由度的体系共有两个自振频率, 表示其中最小的圆频率,称为第一圆频率或基本圆频率(fundamental frequency); 称为第二圆频率。 比值所确定的振动形式就是与第一圆频率 相应的振型,称为第一振型或基本振型(fundamental mode) 分析频率各自对应的振型 3.1 两个自由度体系的自由振动 和 表示第二振型中质点1和2的振幅。 下标与质量 和 相对应,上标表示模态号码。 由于模态方程是齐次的,所以 及 只有相对关系。 振型计算公式 频率计算公式 频率方程 ..
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