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导数与零点问题练习题
题型1:判断或证明零点个数
1.已知函数,为的导数.证明:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点.
2.已知函数.
讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;
设是的一个零点,证明:曲线在点处的切线也是曲线的切线.
3.已知函数,.
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)判断当时,与的图象公切线的条数,并说明理由.
4.已知函数,为的导函数.
(1)求证:在上存在唯一零点;
(2)求证:有且仅有两个不同的零点.
题型2:已知零点个数求参数范围
5.已知函数.
(1)若,证明:当时,;
(2)若在只有一个零点,求的值.
6.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若 QUOTE f(x) 有两个零点,求的取值范围.
7.已知函数,
(1)当时,求的单调区间;
(2)当,讨论的零点个数.
8.已知函数,,其中是自然对数的底数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)设函数,若函数恰好有2个零点,求实数的取值范围.(取,)
题型3:零点的分布特征
9.设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直.
(1)求b.
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
10.已知函数.
(1)当时,讨论极值点的个数;
(2)若分别为的最大零点和最小零点,当时,证明:.
11.已知函数.
(1)若曲线在点处的切线为,求的最小值;
(2)当常数时,若函数在上有两个零点,证明:.
12.已知函数和函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,,且函数有三个零点、、,求的取值范围.
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