有向曲面及曲面元素的投影（课堂PPT）.ppt

§ 20.4;一、有向曲面及曲面元素的投影;观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的); 设曲面 是光滑曲面， 是曲面上任一定点．曲面;曲面的分类:;莫比乌斯带;方向余弦;;二、概念的引入;10;1. 分割;2. 求和;3.取极限;三、概念及性质;被积函数;设 ? 为光滑的有向曲面, 在 ? 上定义了一个;引例中, 流过有向曲面 ? 的流体的流量为;存在条件:;性质:;四、计算法(一投, 二代,三定号);21;注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.;解;24;例2：计算曲面积分其中 是长方体 的整个表面积的外侧;五、两类曲面积分之间的联系;27;两类曲面积分之间的联系;向量形式;例3. 设;解;32;六、小结;莫比乌斯带;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:;典型单侧曲面:; §4 第二曲面积分;曲面的侧 设一光滑曲面 的方程为 其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数 这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为 ;由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光滑曲面S的方程为 或 ，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示;的非闭的光滑曲面 ，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。 于是曲面的法线方向余弦为 其中 还要假设 上无奇点，即 在任一点不同时为零。注意 都是在 内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。;二、第二类曲面积分的定义 设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面 上的单位法向量 ，又设 是一个向量 其中 都是连续函数。 按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块 ， 在 内任取一点 ，作向量 ，再作和式 令 ，如果极限 存在，并且此极限与点 的 选取无关，又与 的划分无关，则称它是 ;性质 即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于 又可将 写为 其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有 ，当选取下侧时有 ，再如当曲面选取为右侧时有 ，当选取左侧有 ，等等。这时，第二类曲面积分可写为 ;若记曲面的单位法向量 为 则有 ;三、两类曲面积分间的联系 由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式 或者 上面两个关系式的左端是