高中教育--正弦定理(一)(附答案)范本参考.docx

精品 精品 感谢下载载 感谢下载载 正弦定理 ( 一) [ 学习目标 ] 1. 通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 .2. 能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题 . 知识点一 正弦定理 1. 正弦定理的表示 (5) asin B＝ bsin A， asin C＝ csin A， bsin C＝ csin B. 3. 正弦定理的证明 在 Rt △ ABC中，设 C为直角，如图，由三角函数的定义： a b sin A＝ c， sin B＝ c， a ∴ c＝sin a b A＝sin A b c B＝ sin 90 B c c ＝ ， ° sin C C∴ sin A＝ sin B＝ sin . C 在锐角三角形 ABC中，设 AB边上的高为 CD，如图， CD＝ asin_ B＝ bsin_ A， a b ∴ sin A＝ sin B， a c 同理，作 AC边上的高 BE，可得 sin A＝ sin C， a b c ∴ sin A＝ sin B＝ sin C. 在钝角三角形 ABC中， C为钝角，如图， 过 B作 BD⊥ AC于 D，则BD＝ asin( π－ C) ＝ asin_ C， BD＝ csin_ A，故有 asin C＝ csin_ A， a c ∴ sin A＝ sin C， a b a b c C同理， sin A＝sin B， ∴sin A＝ sin B＝ sin . C 思考 下列有关正弦定理的叙述： ① 正弦定理只适用于锐角三角形； ② 正弦定理不适用于直角三角形； ③ 在某一确定的三角形中， 各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④ 在△ABC中， sin A∶ sin B∶sin C＝ BC∶ AC∶AB. 其中正确的个数有 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 正弦定理适用于任意三角形，故 ①② 均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定， 则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以 ③ 正确；由正弦定理可知 ④ 正确. 故选 B. 知识点二 解三角形 一般地，把三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素 . 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 . 思考 正弦定理能解决哪些问题？ 答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角 . 题型一 对正弦定理的理解 例 1 在△ ABC中，若角 A，B，C 对应的三边分别是 a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是 ( ) a∶ b∶ c＝ sin A∶ sin B∶ sin C a＝ b? sin 2 A＝ sin 2 B a b＋ c sin A＝ sin B＋ sin C 正弦值较大的角所对的边也较大答案 B 解析 在△ ABC中，由正弦定理得  a sin ＝  b c ＝ ＝ k( k0) ，则 a＝ ksin A，b＝ksin B， A sin B sin C c＝ ksin C，故 a∶ b∶ c＝ sin A∶sin B∶sin C，故 A 正确 . 当 A＝30°， B＝ 60°时， sin 2 A＝ sin 2 B，此时 a ≠ b，故 B 错误 . 根据比例式的性质易得 C正确 . 大边对大角，故 D 正确 . 跟踪训练 1 在△ ABC中，下列关系一定成立的是 ( ) A. absin C. absin A A B. a＝ bsin D. a≥ bsin A A 答案 D 解析 在△ ABC中， B∈ (0 ， π) ，∴ sin B∈ (0,1] ， 1 ∴ sin B ≥ 1， a b bsin A 由正弦定理 sin A＝ sin B 得 a＝ sin B ≥ bsin A. 题型二 用正弦定理解三角形 例 2 (1) 在△ ABC中，已知 c＝ 10，A＝ 45°， C＝ 30°，解这个三角形 . (2) 在△ ABC中，已知 c＝ 6， A＝45°， a＝ 2，解这个三角形 . 解 (1) ∵ A＝ 45°，C＝ 30°， ∴ B＝ 180°－ ( A＋C) ＝ 105°， a c csin A 10×sin 45 ° 由sin A＝ sin C得 a＝ sin C＝ sin 30 ° ＝10 2. ∵ sin 75 °＝ sin(30 °＋45°) ＝ sin 30 °cos 45 °＋ cos 30 °sin 45 °＝ 2＋ 6， 4 csin B ∴ b＝ sin C＝ csin A＋ C sin C ＝ 10×sin 75 ° sin