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精品 精品 感谢下载载 感谢下载载 现代控制理论基础 数学基础：主讲 丁立军 一：矢量空间的定义 矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。 x1 x x2 例如： 属于二维矢量空间， 属于 n 维矢量空 n间。 y x n 当 x 属于某一矢量集 V 时，称 x 是 V 的元素， 即 x∈V。 线性空间的定义： 如果 V 是非空的集合， P 为数域， 设 V 具有如下性 质： 1 ：V 中的元素定义有加法，使任何 x,y∈V 有 z= x+y ∈ V，并且加法运算具有下列性质： x+y= y+x 2) x+y+z= （ x+y ） +z 2 ： V 中有这样的元素，称为零向量，记作 0，它具有如下性质： 对任何 x∈V，有 x+0=0+ x= x 对任何 x∈V，存在 -x ∈V，使 x+ （-x ）=0 ， 则-x 为 x 的逆元素。 3 ：在 V 中定义了数乘， 使任何α ∈P，x∈V，有α x∈V， 且 1）α ，β ∈P， x∈V 有（α β） x= α（β x） 2)（α + β）x= αx+ βx α（ x+y ）= αx+ αy 4) 1 ·x=x 在上述条件下， 称 V 为数域 P 上的线性空间， 若 P 为复数域 C（或实数域 R）则 V 为 C（或 R）上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢 量空间。 二：空间的维数 1 ：空间矢量的线性相关性和线性无关性 设 V 是线性空间，x1,x2 ,?xm ∈V,如果能找到一个数组(k 1 ,k2, ?km )≠ (0,0, ?0) ，使 k 1 x1 + k 2x2+ ?+k m xm =0 成立，则称 x1,x2,?xm 线性相关。 反之，如果仅当 (k1 ,k2, ?km )=(0,0, ? 0) ，才有k 1 x1 + k 2 x2+ ?+k m xm =0 成立，则称 x1,x2 ,?xm 线性无关。 例 1 ： 求矢量 x= （ 1， 1 ），y= （ 2，2）的线性相关性。 解： 令 k1 x+ k 2y=0 ，得： k1 2k2 0 k1 2k2 0 即： 1 2 k1 0 1 2 k2 有非零解，故 x，y 线性相关。 例 2 ： 求矢量 x= （ 1， 0 ），y= （ 0，1）的线性相 关性。 解： 令 k1 x+ k 2y=0 ，得： 故 x，y 线性无关。  k1 0 k2 0 例 3 ：求矢量 x= （ 1，4，1），y= （ 1，2，3），z= （ 1 ，3， 6）的线性相关性。 解： 令 k1 x+ k 2y+ k 3z =0 ，得： 1 1 1 k1 4 2 3 k2 0 1 其系数行列式： 3 6 k3 1 1 1 4 2 3 0 2 3 6 故 x，y， z 线性无关。 定理一： 设有 n 个矢量： a1= （a11 ， a12 ，?a1n ） a2= （a21 ， a22 ，?a2n ） ? an = （ a n 1 ， a n 2 ，? a n n ） 如果行列式： a11 a21 a12 a22 a1n a2n 0 an1 an 2 ann 则 a1 ，a2 ?an 必线性无关。 定理二： 当 m ≥2 时，矢量 a1 ， a2 ?am 线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它 m-1 个矢量的线性组合。 定义： 在线性空间 V 中，若存在 n 个元素 a1，a2? an 满足： ）：a1 ，a2?an 线性无关； ）：V 中的任一元素 a 总可由 a1，a2 ?an 线性表示，则称 a1， a2?an 为线性空间 V 的一个基， n 称为 V 的维数，记为 dimV=n 。 维数为 n 的线性空间称为 n 维向量空间 V n，实 n 维列向量空间记为 Rn ，复 n 维列向量空间记为 Cn。 2 ：矩阵的秩与矢量相关性的关系 ）秩的定义： 矩阵中所含不等于零的子行列式的 最高阶数，称为矩阵的秩。矩阵 A 的秩记为 rankA 。若A 为 n 阶方阵： rankAn ，称 A 为降秩矩阵（奇异矩阵） rankA=n ，称 A 为满秩矩阵（非奇异矩阵） ，此时detA ≠ 0。 ）矩阵的秩与矢量相关性的关系 定理三： 若 rankA=r ，则 A 中有 r 个行（列）矢量线性无关，而其余的行（列）矢量是这 r 个行（列）矢量的线性组合。 定理四： n 阶行列式的行（列）矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。 定理五： 设 A∈ Rn×m ， B∈Rm ×s，则rank （ AB）≤ min （rankA ，rankB ） 。 ）线性方程式的解与秩的关系 设线性方程组： a11 x1+a 12 x2 + ?a1n xn =b 1 a21 x1+a 22