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现代控制理论基础 数学基础:主讲 丁立军
一:矢量空间的定义
矢量空间是线性空间,矢量空间中的运算,属于线性运算法则范畴。
x1
x x2
例如: 属于二维矢量空间, 属于 n 维矢量空
n间。 y x
n
当 x 属于某一矢量集 V 时,称 x 是 V 的元素, 即
x∈V。
线性空间的定义:
如果 V 是非空的集合, P 为数域, 设 V 具有如下性
质:
1 :V 中的元素定义有加法,使任何 x,y∈V 有 z= x+y ∈
V,并且加法运算具有下列性质:
x+y= y+x
2) x+y+z= ( x+y ) +z
2 : V 中有这样的元素,称为零向量,记作 0,它具有如下性质:
对任何 x∈V,有 x+0=0+ x= x
对任何 x∈V,存在 -x ∈V,使 x+ (-x )=0 , 则-x 为 x 的逆元素。
3 :在 V 中定义了数乘, 使任何α ∈P,x∈V,有α x∈V, 且
1)α ,β ∈P, x∈V 有(α β) x= α(β x)
2)(α + β)x= αx+ βx
α( x+y )= αx+ αy 4) 1 ·x=x
在上述条件下, 称 V 为数域 P 上的线性空间, 若 P 为复数域 C(或实数域 R)则 V 为 C(或 R)上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量,因此线性空间也叫矢
量空间。
二:空间的维数
1 :空间矢量的线性相关性和线性无关性
设 V 是线性空间,x1,x2 ,?xm ∈V,如果能找到一个数组(k 1 ,k2, ?km )≠ (0,0, ?0) ,使 k 1 x1 + k 2x2+ ?+k m xm =0 成立,则称 x1,x2,?xm 线性相关。
反之,如果仅当 (k1 ,k2, ?km )=(0,0, ? 0) ,才有k 1 x1 + k 2 x2+ ?+k m xm =0 成立,则称 x1,x2 ,?xm 线性无关。
例 1 : 求矢量 x= ( 1, 1 ),y= ( 2,2)的线性相关性。
解: 令 k1 x+ k 2y=0 ,得:
k1 2k2 0
k1 2k2 0
即:
1 2 k1
0
1 2 k2
有非零解,故 x,y 线性相关。
例 2 : 求矢量 x= ( 1, 0 ),y= ( 0,1)的线性相
关性。
解: 令 k1 x+ k 2y=0 ,得: 故 x,y 线性无关。
k1 0
k2 0
例 3 :求矢量 x= ( 1,4,1),y= ( 1,2,3),z=
( 1 ,3, 6)的线性相关性。
解: 令 k1 x+ k 2y+ k 3z =0 ,得:
1
1
1
k1
4
2
3
k2
0
1
其系数行列式:
3
6
k3
1 1 1
4 2 3 0
2 3 6
故 x,y, z 线性无关。
定理一: 设有 n 个矢量: a1= (a11 , a12 ,?a1n ) a2= (a21 , a22 ,?a2n )
?
an = ( a n 1 , a n 2 ,? a n n ) 如果行列式:
a11 a21
a12 a22
a1n
a2n 0
an1
an 2
ann
则 a1 ,a2 ?an 必线性无关。
定理二: 当 m ≥2 时,矢量 a1 , a2 ?am 线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它 m-1 个矢量的线性组合。
定义: 在线性空间 V 中,若存在 n 个元素 a1,a2?
an 满足:
):a1 ,a2?an 线性无关;
):V 中的任一元素 a 总可由 a1,a2 ?an 线性表示,则称 a1, a2?an 为线性空间 V 的一个基, n 称为 V 的维数,记为 dimV=n 。
维数为 n 的线性空间称为 n 维向量空间 V n,实 n
维列向量空间记为 Rn ,复 n 维列向量空间记为 Cn。
2 :矩阵的秩与矢量相关性的关系
)秩的定义: 矩阵中所含不等于零的子行列式的 最高阶数,称为矩阵的秩。矩阵 A 的秩记为 rankA 。若A 为 n 阶方阵:
rankAn ,称 A 为降秩矩阵(奇异矩阵) rankA=n ,称 A 为满秩矩阵(非奇异矩阵) ,此时detA ≠ 0。
)矩阵的秩与矢量相关性的关系
定理三: 若 rankA=r ,则 A 中有 r 个行(列)矢量线性无关,而其余的行(列)矢量是这 r 个行(列)矢量的线性组合。
定理四: n 阶行列式的行(列)矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。
定理五: 设 A∈ Rn×m , B∈Rm ×s,则rank ( AB)≤ min (rankA ,rankB ) 。
)线性方程式的解与秩的关系
设线性方程组: a11 x1+a 12 x2 + ?a1n xn =b 1
a21 x1+a 22
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