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专题训练 (二 ) 利用勾股定理解决最短路径问题
1 ．如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 AB 为 5 cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点 A 出
发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是（ ）
A ．6 cm B． 12 cm
C．13 cm D． 16 cm
2 ．如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20 ，点 B 离点 C 的距离为 5 ，一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（ ）
A ．5 21 B ．25
C．10 5 ＋5 D ．35
3 ．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为 5 cm ，若一只蚂蚁从点 P 开始经过
4 个侧面爬行一圈达到点 Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
4 ．(青岛中考改编 )如图， 圆柱形玻璃杯， 高为 12 cm，底面周长为 18 cm，在杯内离杯底 3 cm
的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，
则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？
5 ．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处 (与墙面和地面均没有缝隙 ) ，有一只蚂蚁从柜
角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C 处．
1
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当 AB ＝4 ，BC ＝4 ，CC 1＝5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
参考答案
1.C 2.B
3.如图是长方体的展开图，连接 PQ，则 PQ 即为蚂蚁爬行的最短路程．易知 PP′＝12 cm ，
2 2 2 2 2
QP ′＝5 cm. 由勾股定理， 得 PQ ＝PP′＋P ′Q＝12 ＋5 ＝ 169.所以 PQ＝13 cm.所以蚂蚁爬行
的最短路径长为 13 cm.
2 ＝A ′
4 ．如图，将杯子侧面展开， 作 A 关于 EF 的对称点 A ′，连接 A ′C即为最短距离． A ′C
2 2 2 2 2
D ＋ CD ＝9 ＋ 13 ＝250(cm ) ．
1 1 和 ACC 1 1
5 ．(1)如图，木柜的表面展开图是两个长方形 ABC ′ D A .蚂蚁能够最快到达目的
地的可能路径有如图所示的 AC′ 和 AC 两种． (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A B 到 C′，爬
1 1 1 1 1
2 2
过的路径的长 l ＝ 4 ＋（ 4＋5 ） ＝
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