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等腰三角形的分类讨论 推荐人：卢宪友 学校：淄博高新区实验中学 联系电话 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出 现错误， 因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。 那么在什么情况下应该分类讨论呢？ 一. 遇角需讨论 例 1. 已知等腰三角形的一个内角为 75°则其顶角为（ ） A. 30 ° B. 75 ° C. 105 ° D. 30 °或 75° 简析： 75 °角可能是顶角，也可能是底角。当 75 °是底角时，则顶角的度数为 180°－ 75 °×2=30 °；当 75 °角是顶角时， 则顶角的度数就等于 75 °。所以这个等腰三角形的顶角为 30° 或 75 °。故应选 D。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角 是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二. 遇边需讨论 例 2. 已知等腰三角形的一边等于 5 ，另一边等于 6，则它的周长等于 _________ 。 简析：已知条件中并没有指明 5 和 6 谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。 当 5 是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是 6 ，则此时等腰三角形的周长等于 16；当 6 是 腰长时，这个三角形的底边长就是 5 ，则此时周长等于 17。故这个等腰三角形的周长等于 16 或 17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前 提下分类讨论。 三 . 遇中线需讨论 例 3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角 1 1 x x 9, x x 12, 2 2 1 1 x 6, x 8, x y 12, x y 9. 形的腰长是 x cm，底边长为 y cm，可得 2 或 2 解得 y 9, 或 y 5. 即 当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm；当腰长是 8cm 时，底边长是 5cm。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 四. 遇高需讨论 例 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45 °，求这个等腰三角形的顶角的度数。 简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45°，图 2 中顶角为 135 °。 1 2 例 5. 为美化环境，计划在某小区内用 30 m 的草皮铺设一块一边长为 10 m 的等腰三角形绿地，请你求 出这个等腰三角形绿地的另两边长。 1 简析：在等腰Δ ABC中，设 AB=10 m ，作 CD⊥AB 于 D，由 S ABC AB CD 30 ，可得 CD=6m 。