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高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题 高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题 PAGE 高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题 第二章 直线与平面的位置关系 D D C B A α 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） A·Lα（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α A · L α 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 C· C · B · A · α 符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。 推论2：两条平行直线确定一个平面。 推论3：两条相交直线确定一个平面。 P· P · α L β 符号表示为：P∈α∩β =α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线： ① a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ]； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 — 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表 a α a∩α=A a∥α】 直线与平面平行的判定 1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 线线平行 线面平行 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： 线面平行 面面平行 判断定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另个平面内的两条相交直线互相平行，那么这两个平面平行。 符号表示： 3、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面平行的性质 1、线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 平面与平面平行的性质 2、性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 符号表示： 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号表示： 注意点： 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 2、二面角的记法：二面角 或 3、面面