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基本不等式
1．均值定理：如果 a ， b R （R 表示正实数） ，那么 a b ≥ ab ，当且仅当 a b 时，有等号成
2
立．
此结论又称均值不等式或基本不等式．
2 2
a b a b a b
2 ．均值不等式推广： ab ≤ ≤ ，其中 ab ≤ 需要前提条件 a , b R ．
2 2 2
2 2
a b a b
叫做 a ， b 的算术平均值， ab 叫做 a ， b 的几何平均值， 叫做平方平均值．
2 2
2 2
3 ．可以认为基本元素为 ab ， a b ， a b ；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．
考点 1：常规基本不等式问题
例 1. （1） 已知 x 0 ，则 8x 1 的最小值为 ( )
2x
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
1 1
【解答】解： Q x 0 ， 8x …2 8xg 4
2x 2x
1 1
当且仅当 8x 即 x 时取等号，
2x 4
故选： C ．
3
（2 ） 已知 0 x ，则 x(3 5x) 取最大值时 x 的值为 ( )
5
3 9 9 1
A ． B ． C ． D ．
10 10 5 2
3
【解答】解： Q 0 x ，
5
则 x(3 5x) 1 5x(3 5x ), 1 (5x 3 5x )2 9 ，
5 5 2 20
当且仅当 5 x 3 5x 即 x 3 时取最大值
10
故选： A ．
（3） 已知函数 y x 4 9 ( x 1) ，当 x a 时， y 取得最小值 b ，则 2 a 3b 等于 ( )
x 1
A ．9 B ．7 C ．5
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