人教版八年级上数学精编讲义.pdf

第十一章 全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全 等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点。 互相重合的边叫对应边， 互相重合 的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法： 若△ ABC 和△ A ′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC ≌△ A′B′C′其中， “≌”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等， 那么， 以对应顶点为顶点的角是对应角； 以对应顶点 为端点的边是对应边。 通常情况下， 两个三角形全等时， 对应顶点的字母都写在 对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析， 可以看出其中一个 是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图 （1）， BOC≌ EOD， BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的； 旋转 如图（ 2 ）， COD ≌ BOA ， COD 可以看成是由 BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的； 平移 如图（ 3）， DEF≌ ACB ， DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移动 而得到的。 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2 ） 推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2 ）不能证明两个三角形全等的是， a: 三个角对应相等，即 AAA ；b :有两 边和其中一角对应相等，即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具， 同时也是移动图形位置的 工具。在平面几何知识应用中， 若证明线段相等或角相等， 或需要移动图形或移 动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 （1） 证明线段（或角）相等 【例1】如图，已知 AD=AE,AB=AC. 求证： BF=FC 分析：由已知条件可证出 ΔACD ≌ ΔABE ，而 BF 和 FC 分别位于 ΔDBF 和 ΔEFC 中，因此先证明 ΔACD ≌ ΔABE ，再证明 ΔDBF ≌ ΔECF，既可以得到 BF=FC. 证明：在 ΔACD 和 ΔABE 中， AE=AD ∠A= ∠A AB=AC. ∴ ΔACD ≌ ΔABE (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB －AD=AC －AE 即 BD=CE 在 ΔDBF 和 ΔECF 中 ∠B= ∠ C ∠BFD= ∠CFE （对顶角相等） BD=CE ∴ ΔDBF≌ ΔECF （AAS ） ∴ BF=FC （全等三角形对应边相等） （2）证明线段平行 【例2】已知：如图，DE⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为 E、F，DE=BF ，AF=CE. 求证：