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第 25 讲 剪刀模型
1.已知函数f (x) 4x x 4 ,x R .
(Ⅰ)求f (x) 的单调区间;
(Ⅱ)设曲线y f (x) 与 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为y g (x) ,求证:对于任意的
x
实数 ,都有f (x)„ g (x) ;
x
1
a
(Ⅲ)若方程f (x) a(a 为实数)有两个实数根x ,x ,且x x ,求证:x x „ 43 .
1 2 1 2 2 1
3
f (x) 4x x 4 f (x) 4 4x 3
【解析】(Ⅰ)解:由 ,可得 .
当f (x) 0 ,即x 1 时,函数f (x) 单调递增;
当f (x) 0 ,即x 1时,函数f (x) 单调递减.
f (x) 的单调递增区间为(,1) ,单调递减区间为(1,) .
1
(Ⅱ)证明:设点p 的坐标为(x ,0) ,则x0 43 ,f (x ) 12 ,
0 0
曲线y f (x) 在点P 处的切线方程为y f (x )(x x ) ,即g (x) f (x )(x x ) ,
0 0 0 0
令函数F (x) f (x) g (x) ,即F (x) f (x) f (x )(x x ) ,
0 0
则F (x) f (x) f (x ) .
0
, 当 时,F (x) 0 ;当 ,) 时,F (x) 0 ,
F (x ) 0 x (,x ) x (x
0 0 0
F (x) 在(,x ) 上单调递增,在(x ,
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