第25讲 剪刀模型（解析版）.pdfVIP

第 25 讲 剪刀模型 1．已知函数f (x)  4x  x 4 ，x R ． （Ⅰ）求f (x) 的单调区间； （Ⅱ）设曲线y  f (x) 与 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y  g (x) ，求证：对于任意的 x 实数 ，都有f (x)„ g (x) ； x 1 a （Ⅲ）若方程f (x)  a(a 为实数）有两个实数根x ，x ，且x  x ，求证：x  x „   43 ． 1 2 1 2 2 1 3 f (x)  4x  x 4 f (x)  4  4x 3 【解析】（Ⅰ）解：由 ，可得 ． 当f (x)  0 ，即x  1 时，函数f (x) 单调递增； 当f (x)  0 ，即x  1时，函数f (x) 单调递减． f (x) 的单调递增区间为(,1) ，单调递减区间为(1,) ． 1 （Ⅱ）证明：设点p 的坐标为(x ，0) ，则x0  43 ，f (x )   12 ， 0 0 曲线y  f (x) 在点P 处的切线方程为y  f (x )(x  x ) ，即g (x)  f (x )(x  x ) ， 0 0 0 0 令函数F (x)  f (x)  g (x) ，即F (x)  f (x)  f (x )(x  x ) ， 0 0 则F (x)  f (x)  f (x ) ． 0 ， 当 时，F (x)  0 ；当 ，) 时，F (x)  0 ， F (x )  0  x (,x ) x (x 0 0 0 F (x) 在(,x ) 上单调递增，在(x ，