第25讲 蝴蝶问题（解析版）.pdf

第 25 讲 蝴蝶问题 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，已知圆M : x  2 2  y 2  36 ，点N 2, 0 ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ   的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。 (1)求曲线E 的方程； (2)若A 3, 0 ,B 3, 0 ，设过点T 9, m 的直线TA,TB 与曲线 分别交于点C x , y ,D x , y ，其中       E  1 1   2 2  m  0, y  0, y  0 x ( m ) 1 2 ，求证：直线CD 必过 轴上的一定点。 其坐标 无关 2 2 x y (1) (2) 【答案】   1； 证明见解析 9 5 【分析】 2 2 1 2 TA,TB x y （）由椭圆的定义可直接求出求曲线E 的方程；（）先求出直线 的方程，再分别与椭圆   1 9 5 联立方程组，求出 C、D 两点的坐标并写出直线 CD 的方程 【详解】 1 NQ PQ  PN （）∵ 在线段 的垂直平分线上，∴ P ∴ PM  PQ  PM  PN  r  6  MN M , N 6 由椭圆的定义知点P 的轨迹是以 为焦点， 为长轴长的椭圆 c  2, a  3 ，∴b  5 2 2 曲线E 的方程为：x  y  1。 9 5 2 9, m （）点T 的坐标为  y  0 x  3 m 直线TA 方程为：  ，即y  x  3 ， m  0 9  3 12 y  0 x  3 m 直线TB 方程为：  ，即y  x  3 。 m  0 9  3 6 2 2 分别与椭圆 x  y  1联立方程组，同时考虑到x1  3, x2  3 ， 9 5  3 80  m2   3 m2  20     40m     20m