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高二数学立体几何专题资料：空间的垂直关系与平行关系 高二数学立体几何专题资料：空间的垂直关系与平行关系 PAGE PAGEPAGE 5 高二数学立体几何专题资料：空间的垂直关系与平行关系 空间的垂直关系 [基础要点] 一、直线与平面垂直 1.定义：若一条直线和一个平面内的 ，则称这条直线和平面互相垂直 2.判定方法： （1）定义： （2）判定定理： （3）其他方法： 　　 ； 　　 ； 　 3.性质定理： 　　 二、两个平面垂直 1.定义：两个平面相交，若 　　　　　　 ，则称这两个平面垂直 2.判定定理：　　　　　　　　　　　　　　　　 3.性质定理： ；　　　　　　　　　　　 三、三垂线定理及逆定理 图形 三垂线定理 逆定理 文字语言 符号语言 题型一、线线垂直的问题 例１、已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB于E，EF⊥PC于F （１）求证：AF⊥PC　　　（２）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD 变式：已知，PA⊥，PB⊥垂足分别为A、B，又AQ⊥，垂足为Q,连结BQ，求证:BQ⊥ 题型二、线面垂直的问题 例２、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示,墩的上半部分 是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH. 证明：直线平面. 变式：如图示，已知V是△ABC所在平面外一点，VN垂直于平面ABC，且垂足N在△ABC的高CD上，M是VC上的一点， 求证：VC⊥平面AMB 题型三、面面垂直问题 例３、如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上,求证：平面； 变式:△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CD,CE=CA=2BD,M是EA的中点， （１）求证：DE=DA （２）面BDM⊥面ECA （３）面DEA ⊥面ECA 题型四、垂直问题的转化 例４、如图，平面⊥平面，为正方形，, 求证：平面； 变式：如图示，在斜边为AB的△ABC中，过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N (1)求证:BC⊥面PAC (2)求证：PB⊥面AMN (3)设PA=AB=4,设∠BPC=，试用表示△AMN的面积，当取何值时，△AMN的面积最大最大面积是多少 [自测训练] AUTONUM 、已知表示平面，表示直线，下列命题中正确的是（ ） A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 AUTONUM 、已知直线与平面，给出下列三个命题： ①若，则 ②若，则 ③若，则 其中真命题的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 AUTONUM 、如图示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF把△ADE、△CDF、△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P-DEF中，必有（ ） A、DM⊥面PEF B、PM⊥面DEF C、面PDE⊥面PEF D、面PDE⊥面DEF AUTONUM 、直线不垂直于平面，则内与垂直的直线有（ ） A、0条 B、1条 C、无数条 D、内所有直线 AUTONUM 、点P是△ABC所在平面外一点，且到三边的距离相等，点O是P在平面ABC内的射影，且点O在三角形内，那么点O是△ABC的（ ） A、垂心 B、内心 C、外心 D、重心 AUTONUM 、已知是不重合的两条直线，是不重合的两个平面，有下列命题： ①若，则 ②若，则 ③若，则且 ④若，且，则 其中真命题的个数是（ ） A、4 B、3 C、2 D、1 AUTONUM 、如图，为正方体的中心，△在该正方体各个面上的射影可能是（ ） A、(1)、(2)、(3)、(4) B、(1)、(3) C、(1)、(4) D、(2)、(4) AUTONUM 、对于四面体ABCD，给出下列四个命题： ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） AUTONUM 、在平面几何里，有勾股定理：“设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直，则”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则