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椭圆焦点三角形面积公式的应用
2 2
x y
1 a b
定理 在椭圆 2 2 （ ＞ ＞0 ）中，焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 是椭圆上任
a b
2 y
意一点， F PF ，则 S b tan .
1 2 F PF
1 2 2 P
P
证明：记 | PF | r ,| PF | r ，由椭圆的第一定义得
1 1 2 2
F 1 O F2 x
2 2
r r 2a, (r r ) 4 a .
1 2 1 2
2 2 2
在△ F PF 中，由余弦定理得： r r 2r r cos (2c) .
1 2 1 2 1 2
配方得： (r r )2 2r r 2r r cos 4c 2 .
1 2 1 2 1 2
即 4a 2 2 r r (1 cos ) 4c2 .
1 2
2 2 2
2( a c ) 2b
r r .
1 2
1 cos 1 cos
由任意三角形的面积公式得：
2sin cos
1 2 sin 2 2 2 2
S r r sin b b b tan .
F PF 1 2
1 2 2 1 cos 2 2
2 cos
2
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