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数学分析三试卷及答案(新) 数学分析三试卷及答案(新) PAGE / NUMPAGES 数学分析三试卷及答案(新) 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 《数学分析 》 ( 三 ) ――参考答案及评分标准 一 . 计算题（共 8 题，每题 9 分，共 72 分）。 1. 求函数 f ( x, y) 3 x sin 1 3 y sin 1 在点 (0,0) 处的二次极限与二重极限 . y x 解： f ( x, y) 3 x sin 1 3 y sin 1 3 x 3 y ，因此二重极限为 0 .(4 分) y x 因为 lim 3 x sin 1 3 y sin 1 与 lim 3 x sin 1 3 y sin 1 均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 (9 分) 2. 设 y y( x), 是由方程组 z xf ( x y), 所确定的隐函数 , 其中 f 和 F 分别 z z(x) F ( x, y, z) 0 具有连续的导数和偏导数 , 求 dz . dx 解： 对两方程分别关于 x 求偏导 : dz f (x y) xf ( x dy ， dx y)( 1) dx (4 分) Fx Fy dy Fz dz 0 。 dx dx 解此方程组并整理得 dz Fy f ( x y) xf ( x y)( Fy Fx ) (9 分) dx Fy xf (x y)Fz . 3. 取 , 为新自变量及 w w( ,v) 为新函数，变换方程 2 z 2 z z z 。 x2 x y x 设 x y , x y , w zey （假设出现的导数皆连续） . 2 2 解： z 看成是 x, y 的复合函数如下： z wy , w w( , ), x y , x y 。 (4 分) e 2 2 代人原方程，并将 x, y, z变换为 , ,w 。整理得： 2 w 2 w 2w 。 (9 分) 2 要做一个容积为 1m3 的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省 ? 解： 设圆桶底面半径为 r , 高为 h, 则原问题即为： 求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数 : S表 2 rh 2 r 2 , 任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。 1 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 约束条件 : r 2 h 1。 r 2 r 2h (3 分) 构造 Lagrange 函数： F (r , h, ) 2 rh 2 ( 1) 。 令 Fr 2 h 4 r 2 rh 0, (6 分) Fh 2 r r 2 0. 解得 h 2r ，故有 r 3 1 , h 3 4 由题意知问题的最小值必存在，当底面半 2 . 径为 r 3 1 高为 h 3 4 时，制作圆桶用料最省。 (9 分) 2 , y3 5. 设 F ( y) e x2 y dx , 计算 F ( y) . y2 解：由含参积分的求导公式 y3 x2 y y3 2 x 2 y 2 x2 y x2 y (5 分) F ( y) y 2 e dx y 2 x e dx 3y e x y3 2 ye x y2 y y3 2 ydx 3y2e y 7 2 ye y 5 y 2 x2 e x 7 y2e y 7 5 ye 5 1 y3 2 ydx 。 (9 分) y 2 e x 2 2 2y y x2 y2 2 xy 6. 求曲线 所围的面积，其中常数 a,b, c 0 . a2 b2 c2 解：利用坐标变换 x a cos , 由于 xy 0 ，则图象在第一三象限，从而可 y b sin . 以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 , 0 ,0 ab cos 。 (3 分 ) 2 c 2 sin 则 ab 1 (x, y) 2 V 2 d d 2 2 d c 2 sin cos (6 分) ( , ) 0 0 ab d a2b2 2 sin cos d c 2 0 a2b2 (9 分) 2c2 . 5 2 ,其中 L是圆柱面 与 平面 7. 计算曲线积分 3 zdx xdy ydz 2 y 2 1 x L y 3的交线（为一椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向 . 解： 取平面 z y 3上由曲线 L 所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面 ，定向为上侧，则 的法向量为 任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。 2 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 cos ,cos ,cos 0, 1 , 1