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第二节 线性相关性
定义2.1
(向量组线性相关性定义一 )
向量组A:
称为线性相关,
若至少有一个
向量可表示为其余向量的线性组合.
称为线性无关,
若每个向量都
不可表示为其余向量的线性组合.
向量组A:
例1
下列向量组中的向量存在线性关系吗?
解:
线性相关
例1
下列向量组中的向量存在线性关系吗?
解:
即
线性无关
定义2.2
(向量组线性相关性定义二 )
向量组A:
称为线性相关,
若存在不全为0
的数
使
称为线性无关,
若
当且仅当
都为0.
向量组A:
例2
(两个向量的线性相关性)
判断下列向量组是否线性相关
解:
线性相关
不可能
同理
线性无关
对应分量成比例
向量共线
(平行)
两个向量线性相关性的几何意义
线性相关(共线或平行)
线性无关(不共线不平行)
例3
解:
是否存在不全为0的
使
即
方程组有无非零解?
有非零解
线性相关
三个向量线性相关性的几何意义
线性相关(共面)
线性无关(不共面)
(例1)
向量组的线性关系式
就是齐次线性方程组
只有零解
线性无关
有非零解
线性相关
定理2.1
系数矩阵
例4
用观察法判断下列向量组是否线性相关
(1)
解:
4个三维向量
线性相关
总结:
n个m维向量
必线性相关 .
(2)
解:
线性相关
总结:
含零向量的向量组
必线性相关 .
例4
用观察法判断下列向量组是否线性相关
(3)
解:
两个向量不是倍数关系,
线性无关.
例4
用观察法判断下列向量组是否线性相关
例5
例6
设向量组A:
线性相关,
证明:向量组B:
也线性相关.
证:
线性相关,
存在不全为0的数
使
有
不全为0,
向量组A
也线性相关.
向量组B
总结:
向量组线性相关,
增加向量后仍线性相关.
等价命题:
向量组线性无关,
减少向量后仍线性无关.
例7
设向量组A:
线性无关,
向量组B:
线性相关,
证明:
的线性组合,且表示法唯一.
证:
线性相关,
向量组B
存在不全为0的数
使
存在不全为0的数
使
即
线性相关,
矛盾,
线性无关,
总结:
下列命题等价
(1)
A可逆
(若A是方阵)
(2)
只有零解
(3)
矩阵A的列线性无关
(4)
(5)
(1’)
A不可逆
(若A是方阵)
(2’)
(3’)
矩阵A的列线性相关
(4’)
(5’)
有非零解
(若A是方阵)
(若A是方阵)
例8
判断A的列是否线性相关.
解:
(法一)
解:
(法二)
的列线性无关.
的列线性无关.
作业
100页 3 4 5 6
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