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《经济数学基础》教案4 《经济数学基础》教案4 PAGE PAGEPAGE 9 《经济数学基础》教案4 [教学目标] 1.理解矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念。 2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算。 3.熟练掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 4.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵。 5.掌握用消元法求解线性方程组。 6.理解线性方程组有解判定定理。了解线性方程组的特解、一般解等概念，熟练掌握求线性方程组一般解的方法，会求线性方程组的特解。 [重难点]矩阵运算，初等行变换，线性方程组解的讨论与解法。 [教学内容] 矩阵 一、主要内容： （一）、概念 ⒈矩阵定义： 是一张矩形阵表。（它m行n列，其中中i表示第i行，j表示第j列） 零矩阵： 负矩阵： 行矩阵和列矩阵：， 方阵： ⒉特殊矩阵 单位矩阵：I 数量矩阵： 对角矩阵： 三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵） 对称矩阵： ⒊阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵 ⒋矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数。 ⒌逆矩阵定义：为互逆矩阵。 （二）、法则 ⒈矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等。 ⒉矩阵的加减法： ⒊矩阵的数乘： ⒋矩阵的乘法： 矩阵乘法不满足交换律，即一般不成立（若矩阵A, B满足，则称A, B为可交换的）． 　矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵及矩阵，不能推出．但当可逆时，． 矩阵，可能有． ⒌方阵的幂：（m个相乘） ⒍矩阵的转置： 称为的转置。 （三）、方法 ⒈矩阵的初等行变换 ⒉初等行变换化矩阵为阶梯形 ⒊初等行变换求矩阵的秩 ⒋初等行变换求逆矩阵　　 二、实例分析： 例1 若A，B是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）． A． B． C．若秩 秩则秩 D．若秩 秩则秩 解 选项A： 只是的充分条件，而不是必要条件，故A错误； 选项B：，矩阵乘法一般不满足交换律，即，故B错误； 选项C：由秩秩 说明A，B两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如，则．故秩不一定成立，即C错误； 选项D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D正确． 例2 设矩阵，，则AB＝ ． 解 因为 AB＝ = [4 1] 所以，应该填写：[4 1] 例3 矩阵的秩是( ) A. 1 B. 2 解 因为 对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确选项是：C 例4 设矩阵 A=， 则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是 ． 解 根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素与B的第1列元素的乘积之和，即 3×2＋（－1）×9＋9×0 ＝ -3 应该填写：-3 例5 设A是m?n矩阵,B是s?n矩阵, 则运算有意义的是( )． A． B． C． D． 解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵有意义． 正确选项是A． 例6 设方程XA－B=X，如果A－I 可逆，则X= ． 解 由XA－B = X，得XA－X = B，X(A－I ) = B 故X = B(A－I )－1． 所以，应该填写：B(A－I )－1 注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (A－I )－1 B，它是错误的． 例7． 设矩阵 ，求矩阵A． 解 因为 所以 例8 已知矩阵，求常数a，b ． 解 因为 所以 ，得b = 2 ． 例9．设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中， , 求X ． 解法一：先求矩阵A的逆矩阵．因为