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不等式的证明 ( 一)
教学目标
(1)理解证明不等式的三种方法:比较法、综合法
和分析法的意义;
(2 )掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等
式;
(3 )能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式;
(4 )能用不等式证明的方法解决一些实际问题,培养
学生分析问题、解决问题的能力;
(6 )通过不等式证明,培养学生逻辑推理论证的能力
和抽象思维能力;
(7 )通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的
参与,培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习
惯.教学建议
(一)教材分析
1 .知识结构
2 .重点、难点分析
重点:不等式证明的主要方法的意义和应用;
难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反
的;
②综合性问题选择适当的证明方法.
(1)不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成
立 (或都不成立) ,而并非是带入具体的数值去验证式子
是否成立.
(2 )比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中,比较法是最基本、
最重要的方法.
②证明不等式的比较法,有求差比较法和求商比较
法两种途径.
由于,因此,证明,可转化为证明与之等价的.这
种证法就是求差比较法.
由于当时,,因此,证明可以转化为证明与之等价
的.这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证明不
等式时,一定要注意的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是:“作差——变形——
断号”.
其中,作差是依据,变形是手段,判断符号才是目
的.
变形的目的全在于判断差的符号,而不必考虑差值
是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解
的方法等,为此,有时把差变形为一个常数,或者变形
为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形
为一个分式,或者变形为几个因式的积的形式等.
总之.能够判断出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是:“作商——变形——
判断商式与 1 的大小关系”,需要注意的是,作商比较
法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.
(3 )综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推
倒出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综
合法.
②综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式
出发,通过一系列的推出变换,推倒出求证的不等式.
③综合法证明不等式的逻辑关系是:
….
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④利用综合法由因导果证明不等式,就要揭示出条
件与结论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证
之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系,在
分析所证不等式左右两端的差异后,合理应用已知条件,
进行有效的变换是证明不等式的关键.
(4 )分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的
充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不
等式成立,这种证明方法就是分析法.
有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,
逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中
的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等
式成立.这也是用分析法,注意应强调“以上每一步都
可逆”,并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式
出发,探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等
式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证明不等式的逻辑关系是:
….
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④分析法是教学中的一个难点,一是难在初学时不
易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”
条件,二是不易正确使用连接有关 (分析推理)步骤的关
键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假
定……成立”等.
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当
证明不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解
决.特别
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