初等数论知识点汇总新选.pdf

第一节 整数的 p 进位制及其应用 正整数有无穷多个， 为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数， 人们发明了进位制， 这是一种位值记数法。 进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系， 近几年来， 国内与 国际竞赛中关于 “整数的进位制”有较多的体现， 比如处理数字问题、 处理整除问题及处理 数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个 m 位的正整数 A ，其各位上的数字分别记为 a m 1 ,am 2 , ,a0 ，则此数可以简 记为： A am 1am 2 a0 （其中a m 1 0 ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此 A 可以表示成 10 的 m 1次多项式，即 m 1 m 2 A am 1 10 am 2 10 a1 10 a0 ，其中 a i { 0,1,2, ,9}, i 1,2, , m 1 且 a m 0 ，像这种 10 的多项式表示的数常常简记为 A (a a a ) 。在我们的日常 1 m 1 m 2 0 10 生活中，通常将下标 10 省略不写，并且连括号也不用，记作 A am 1 a m 2 a0 ，以后我们 所讲述的数字， 若没有指明记数式的基， 我们都认为它是十进制的数字。 但是随着计算机的 普及， 整数的表示除了用十进制外， 还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是 现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣， 究其原因， 主要是二进制只使用 0 与 1 这两种 数学符号， 可以分别表示两种对立状态、 或对立的性质、 或对立的判断，所以二进制除了是 一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数 A 的 p 进制表示： m 1 m 2 A am 1 p am 2 p a1 p a0 ， 其 中 ai {0,1,2, , p 1}, i 1,2, , m 1 且 a m 1 0 。而 m 仍然为十进制数字，简记为 A (am 1am 2 a0 ) p 。 第二节 整数的性质及其应用（ 1） 基础知识 整数的性质有很多， 这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性， 质数与合数、完 全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明， 我们所涉及的数都是整数， 所采用的字母也表示整数。 定义 ：设 a, b 是给定的数， b 0 ，若存在整数 c ，使得 a bc 则称 b 整除 a ，记作 b | a ， 并称 b 是 a 的一个约数 (因子 ) ，称 a 是 b 的一个倍数， 如果不存在上述 c ，则称 b 不能整除 a 记作 b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若 b | c 且 c | a ，则 b | a (传递性质 )； 1 / 18 (2)若 b | a 且 b | c ，则 b | (a c ) 即为某一整数倍数的整数之集关于加、 减运算封闭。 若 反复运用这一性质，易知 b | a 及 b | c ，则