初二竞赛勾股定理.pdf

学习好资料 欢迎下载 第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 2 2 2 a +b =c ． 勾股定理逆定理 如果三角形三边长 a，b，c 有下面关系： 2 2 2 a +b=c 那么这个三角形是直角三角形． 早在 3000 年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明 的．下面的证法 1 是欧几里得证法． 证法 1 如图 2- 16 所示．在 Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形 2 2 2 ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是 c ，a ，b ．下面证明，大正方形 的面积等于两个小正方形的面积之和． 过 C 引 CM∥BD，交 AB于 L，连接 BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠ CAE=∠BAG， 所以△ ACE≌△AGB(SAS)．而 2 AEML 所以 S =b ． ① 学习好资料 欢迎下载 2 BLMD 同理可证 S =a ． ② ① +②得 2 2 ABDE AEML BLMD S =S +S =b +a ， 2 2 2 即 c =a +b ． 证法 2 如图 2- 17 所示．将 Rt△ABC的两条直角边 CA，CB分别延长到 D， F，使 AD=a，BF=b．完成正方形 CDEF(它的边长为 a+b) ，又在 DE上截取 DG=b，在 EF上截取 EH=b，连接 AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 所以 AG=GH=HB=AB=c， ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 因此，AGHB为边长是 c 的正方形．显然，正方形 CDEF的面积等于正方形 AGHB的面积与四个全等的直角三角形 ( △ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的 面积和，即 2 2 2 化简得 a +b =c ． 学习好资料 欢迎下载 证法 3 如图 2-18．在直角三角形 ABC的斜边 AB上向外作正方形 ABDE，延 长 CB，自 E作 EG⊥CB延长线于 G，自 D作 DK⊥CB延长线于 K，又作 AF， DH分别垂直 EG于 F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与 Rt△ ABC全等： △AFE≌△ EHD≌△BKD≌△ACB． 设五边形 ACKDE的面