数学建模 2湖水温度变化问题.doc

蔡丰、陶盛科：湖水温度变化问题 数学建模 PAGE PAGE 2 PAGE PAGE 3 数学建模 PAGE PAGE 1 湖水温度变化问题 1 摘要 夏季湖水温度有明显的正温层现象，8月份最高达22．3℃，平均为16℃；水的下层温度较低，平均水温为9．5℃，最低为6℃．秋季因湖区多风而发生湖水搅动，使水温分层温度现象基本消失，冬季湖面结冰，湖水温度出现逆温层现象。特别近几年来全球变暖越来越严重，这对夏季时湖水的温度的变化也照成了一定的影响，使得湖水照成水文变化异常的现象，影响了河中生物的生存与繁衍。使得水层上下循环不畅，造成下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。论文利用数学建模理念和MATLAB软件对水温的变化与分布进行了分析和评论。 关键词：分层，多项式拟合，湖水温度，求导。 2 概述 2.1 问题重述? 湖水在夏天会出现分层现象，其特点为接近湖面的水温度较高，越往下温度越低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。下面是某个湖的观测数据。 表1-1 湖水观测数据 深度，m 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2 温度，°C 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1 求解: 1．??湖水在10m处的温度是多少？ 2．??湖水在什么深度温度变化最大？ 2.2 基本假设 针对以上问题，对于湖水温度的模型可以做出如下的假设： 1.取同一时刻不同温度的水温，所以假设湖的温度不随时间变化。 2.水层之间的温度不相互影响。 3.湖水的温度与湖水内部的流动状态无关。 4.湖水地步平坦，无沟壑、无起伏。 5.湖水的深度决定了湖水的温度状况。 2.3 分析与建立模型 这道湖水温度变化模型问题主要研究的是湖水的温度会随这深度的不同而呈现出一定的规律。但模型中只给出了温度与深度相关的有限时间数据，由此想到可能要用到插值和多项拟合的方法来求解该模型。 假设湖水深度是温度的连续函数，其中一组统计数据为表所示： 表3—1为湖水观测数据 深度，m 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2 温度，°C 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1 2.4 符号说明 h: 湖水深度,单位为m； T: 在h下的湖水温度,单位为°C； T=T(h)：湖水深度的函数； e：温度的相对误差 2.5 模型求解 遇到这种数据表格问题，如果我们仅凭眼睛观察，很难看到其中的规律，也就更难写出有效的数学表达式从而建立数学模型。 将所给数据作图，运用MATLAB软件做出图形，分别用x,h代表湖水的深度，用y代表湖水温度，操作的命令为： x=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2] y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1] A=polyfit(x,y,2) Z=polyval(A,x) plot(x,Z) 此时拟合出 T=0.0091x2-0.7803x+24.5390 ， 图表如下： 图5—1 二次拟合曲线 表5—1 深度，h 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.7 22.9 27.2 真实值，T 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1 模拟值，z 24.5390 22.7924 20.9339 18.1914 15.5558 13.3051 11.4393 10.0431 相对误差，e 0.0763 0.0003 0.0818 0.1169 0.1191 0.1372 0.0306 0.0952 这个二次拟合的结果与实际情况差距较大所以用三次拟合 h=[0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2]; y=[22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1]; A=polyfit(h,y,3) Z=polyval(A,h) plot(h,Z) 此时拟合出 T=0.0027h3-0.1000h2+0.3277h+22.8764 图表如下： 图5—2三次拟合曲线 表5—2 深度，h 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.7 22.9 27.2 真实值，T 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1 模拟值，z 22.8764 23.1335 22.3949 19.5891 15.4637 11.7538 10.0204 11.5681 相