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[专题一]7:\\ Vil |:¥1
备考技法
解题常川8术系统UI纳
考前练手,保热度
第1讲 探求思路,图作向导
对题设条件不够明显的数学问题求解,注重考查相关的图形,巧用图形作向导
是从直观入手领会题意的关键所在 .尤箕是对一些复合函数、三角函数、不等式
方法概述
等形式给出的命题,其本身虽不带有图形,但我们可换个角度思考,设法构造
相应的辅助图形进行分析,将代数问题转化为几何问题来解 .力争做到有图用
图,尢图想图,补形改图,充分运用其儿何特征的直观性来启迪思维,从而较
快地获得解题的途径.这就是我们常说的图解法
应用题型
选择题、填空题、解答题中均有应用,主要涉及最值、不等式、取值范围等问
题
应用(一) 求解函数问题
1x2- 1|,
[例1] (1)已知函数y=J——「的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点, 则实数k的取
x— 1
值范围是
(2)函数 f(x)= sin x,对于 x1 x2…v xn,且 x1,x2,…,xnC [0 , 8 % ](n 10),记 M =
|f(X1)—f(X2)|+ |f(x2)—f(X3)|+ …+ |f(xn 1)-f(Xn)|,则 M 的最大值为
|x2- 1| x+ 1, x1 或x - 1 ,
[解析](1)y = ±1 = 1 1V l
x ? 一 x 一 1 一 1 x1 ,
作出其图象如图所示,结合图象可知 0k1或1k2.
(2)函数f(x)=sin x(0WxW8兀)的图象如图所示,
力7TT
力7
TT工
根据正弦函数的图象及性质 x1,x2,…,xnC[0, 8ti ](n10),在[0, 8兀]有4个周期,
要使 M 的最大值,则 |f(x1)— f(x2)|+|f()—f(x3)|+|f(x3) —f(x4)|+…+|f(xn 1) —f(xn)|最大.则 x1,
X2,…,Xn都是顶点的横坐标,故 Mmax=4X4=16.
[答案](1)(0, 1)U(1, 2) (2)16
应用(二) 求解不等式问题
x + 2, x 0,
[例2]已知f(x)= 则不等式f(x)x2的解集为( )
—x+2, x0,
A.[-1, 1] B.[-2, 2]
C.[-2, 1] D.[-1, 2][答案]
C.[-2, 1] D.[-1, 2]
[答案]A
应用(三) 求解平面向量问题
[例3] 在4ABC中,BC边上的中线
AD的长为2,点P是△ ABC所在平面上的任意一
点,则前谒+谊,PC的最小值为()
A.1 B.2
C.-2 D. —1
[解析]法一:(坐标法)以点D为坐标原点,DA所在直线为y轴,建 立如图所示的平面直角坐标系,则 D(0, 0), A(0, 2).
设点 P 的坐标为(x, y),则市A =(-x, 2-y), PD=(-x, — y),
故 PA PB + PA PC = PA ? PB + PC ) = 2 PA PD =2(x2+ y2 — 2y),
2(x2+y2-2y)=2[x2+(y- 1)2]-2 -2,当且仅当 x= 0, y= 1 时等号成立.
所以吊A 庙 + PA PC的最小值为—2.故选C.
法二:(几何法)取AD的中点 M,则吊A = PM + MA = PM--1 MA ,
1
PD = PM + MD = PM +2AD .
所以前.市+前.前=前.(PB +血)=病.2同=2前.PD =
》 1 〉 ‘ 1 1 〉 ,O 1 ,O 一 O 1、, ? c _
2 PM—/AD ? PM+/AD =2 PM2 —4AD2 =2 PM2—/22 =2PM2—2. —
显然,当P, M重合时,PM2取得最小值0,此时PA PB + PA PC取得最小值一2.
故选C.
[答案]C
应用(四) 求解解析几何问题
[例4] 已知圆x2+y2+x—6y+m=0与直线x+ 2y—3= 0交于P, Q两点,且 6P .OQ = 0(0为坐标原点).求实数m的值及该圆的圆心坐标及半径
[解]圆的方程化为x + 11 +(y—3)2 = 37 —m,
1 一
圆心C的坐标为一2,3 .
如图,取PQ的中点 M,连接CM, 0M,则CMXPQ.
所以直线CM的方程为2x— y+4=0.
2x y 4 0
解方程组 y 得点m(-1, 2),
x+ 2y- 3=0,
故|CM |= -2.
因为 OP OQ = 0,所以 OP^OQ,
所以 |MQ|=|MO| =十.
5 37
由 |MQ2+|CM2=|QC|2,得 5 + 4 = --m,
TOC \o 1-5 \h \z ? 一 5
解得m=3.故半径r=2.
[应用体验]
.函数f(x)= 2 — log2x的零点个数为(
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