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两年真题重温】
2020 新课标全国理, 18】如图,四棱锥 P ABCD 中,底面
DAB 60o, AB 2AD, PD⊥底面 ABCD.
(Ⅰ) 证明: PA⊥ BD;
(Ⅱ) 若 PD AD ,求二面角 A PB C的余弦值.
C
A 1,0,0 , B 0, 3,0 , C
1, 3,0 , P 0,0,1 ,
0, 1, 3
0, 1, 3
1,0,0 ,uuur uuur uuurAB 1, 3,0 , PB 0, 3, 1 ,
1,0,0 ,
uuur
设平面 PAB 的法向量为 n x, y,z ,则 n uAuBur 0, n PB 0
即 x 3y 0,因此可取 n 3,1, 3
3y z 0
uuur m PB 0 设平面 PBC 的法向量为 m ,则 uuur ,可取 m m BC 0
cos m,n
4
27
277 .故二面角 A PB C的余弦值为
27
7
从而 BD2 AD2 AB2,故 BD AD ,
又 PD 底面 ABCD ,可得 BD PD ,
6
6
6
6
所以 BD 平面 PAD .故 PA BD
【2020 g 新课标全国理, 18】如图,已知四棱锥 P-ABCD的底面为等腰梯形, ABPCD,AC BD, 垂足为 H,PH是四棱锥的高 ,E为 AD中点 .
(1) 证明: PE BC
(2) 若 APB= ADB=60°,求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值
m
33,n 1,故 C(
3
3
33,0,0)
D(0,
33 ,0), E(12 ,
32
,0), P(0,0,1)
【 2020 g 新课标全国文, 18】如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面为等 腰梯形, AB∥CD, AC BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:平面 PAC 平面 PBD ;
(Ⅱ)若 AB 6 , APB ADB 60°, 求四棱锥 P ABCD 的体 积。
题意图猜想】
辑推理能力.
最新考纲解读】
回归课本整合】
3. 平面与平面平行
线∥线
线∥面
面∥面
判定 线⊥线
线⊥面
面⊥面 性质
线∥线
线⊥面
面∥面
5. (理)直线与平面所成的角
(3)二面角的范围: [0, ] ;
7(理) 利用向量处理平行问题
(1)证明线线平行,找出两条直线的方向向量,证明方向向量共线;
2. 求直线和平面所成的角的向量法:在斜线上取一方向向量 ra ,并求出平面 的一个法向
r r r a n量 n ,若设斜线和平面所成的角为 , 由 sin cos a,n | r r |.
|a| |n|
【方法技巧提炼】
1. 线线平行与垂直的证明
证明线线平行的方法: ( 1)平行公理;(2)线面平行的性质定理; (3)面面平行的性质 定理;(4)向量平行 . 要注意线面、 面面平行的性质定理的成立条件 . 证明线线垂直的方法:
(1)异面直线所成的角为直角; ( 2)线面垂直的性质定理; (3)面面垂直的性质定理; ( 4) 三垂线定理和逆定理; (5)勾股定理;(6)向量垂直 . 要注意线面、面面垂直的性质定理的
成立条件 . 解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性 例 1 如图,四面体 C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90 °.E、F分 别是 BC、 AC的中点 .
(1)求证: AC⊥ BD;
(2)如何在 AC上找一点 M,使 BF∥平面 MED?并说明理由;
(3)若 CA = CB,求证:点 C在底面 ABD上的射影是线段 BD的中点 . 解析:( 1)取 BD的中点 O,连接 AO,CO,在△ BCD中 ∵BC = DC,∴ CO⊥BD,同理 AO⊥BD 而 AO∩CO = O,
∴BD⊥平面 AOC,又 AC 平面 AOC,∴ AC⊥BD.
(2)取 FC的中点 M,连接 EM, DM,
∵E是 BC的中点,∴ BF∥EM,∵ EM 平面 MED,∴ BF∥平面 MED,∴ FC的中点 M即为所 求.
(3)∵△ ABD是等腰直角三角形,∠ BAD = 90 °,
∴AO = BO= DO;∵ CA = CB = CD,CO是公共边,∴△ COA≌△ COB≌△ COD;
∴∠ COA9=0°,即 CO⊥AO,又 CO⊥BD,AO∩BD = O,
∴CO⊥平面 ABD,即点 C 在底面 ABD上的射影是线段 BD的中点 .
例 2 在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是矩形,侧棱 PA垂直于底面, E、F 分别是 AB、PC 的 中点.
1)求证: EF // 平面 PAD;
(1)面面平行的证明方法:①反证法 : 假设两个平面不平行,则它们必相交,在导出矛盾;
②面面平行的判断定理;③利用性质
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