《三角形中的范围与最值问题》教学设计教学目标.doc

微专题教学设计：三角形中的范围与最值问题 科目：数学 年级：高一年级 主讲人：刘亚娟 一、教材分析： 解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。而三角形中的最值问题又是一个重点。处理这个最值问题解决方法主要有两种，分别是建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。这两种方法对学生的思维训练而言是很有价值的。 二、学情分析： 本课之前，学生已经学习了三角函数和正弦余弦定理有关内容，但是本课综合性强，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，学生学习方面比较困难。因此在教学过程中必须调动学生积极思考和留下给学生独立思考的时间。我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即互动式的教学与多变式教学相结合的方法，带领学生主动参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生互动、生生互动中实现教学任务和目标。 三、教学目标： 1、正弦定理、余弦定理的应用； 2、三角函数辅助角公式在处理范围问题中的应用； 3、均值不等式在处理范围问题中的应用。 四、教学重难点： 重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用。 难点：掌握解三角形中处理不等关系的两种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）； （2）利用均值不等式求得最值。 五、教学过程： （一）解三角形公式回顾 1.正弦定理：，其中为外接圆的半径 2.余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. 推论：cosA＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，cosB＝ eq \f(c2＋a2－b2,2ca) ，cosC＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) . 3.面积公式： S= 应用基本不等式求最值 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可以先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围。 【例1】 在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为________。 解析 由a2＋b2＝2c2和余弦定理可以得到 cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(1,2)?a2＋b2?,2ab)＝eq \f(a2＋b2,4ab)≥eq \f(2ab,4ab)＝eq \f(1,2)， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以cos C的最小值为eq \f(1,2). 深入探究 【例题】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB． (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值。 解析 (1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos BsinC．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B． 又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4). (2)由(1)得△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(2),4)ac． 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accoseq \f(π,4). 又a2＋c2≥2ac，故a2＋c2＝4＋eq \r(2)ac≥2ac，所以ac≤eq \f(4,2－\r(2))， 当且仅当a＝c时，等号成立． 所以S＝eq \f(\r(2),4)ac≤eq \f(\r(2),4)×eq \f(4,2－\r(2))＝eq \r(2)＋1. 因此△ABC面积的最大值为eq \r(2)＋1。 （三）转化为三角函数问题求范围（最值） 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 【例2】 在△ABC中，B＝60°，AC＝eq \r(3)，则AB＋2BC的最大值为________。 解析 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝2， 所以AB＋2BC＝2sin C＋4sin A＝2sin(120°－A)＋4sin A＝2eq \r(7)sin(A＋φ)，其中tan φ＝eq \f(\r(3),5)，当sin(A＋φ)＝1时，AB＋2BC取得最大值，最大值为2eq \r(7). 深入探究 【例题】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq \f(a,\r(3)cosA)＝eq \f(