定积分的概念.ppt

(1) f(x)dx表示x轴、曲线f(x)及直线x=a,x=b之间 各部分面积的代数和. (2) |f(x)|dx表示在区间[a,b]上以|f(x)|的图象为 曲边的曲边梯形的面积. (3)| f(x)dx|则是 f(x)dx的绝对值. 【拓展】(1)定积分性质的推广: [f1(x)±f2(x)±…±fm(x)]dx = f1(x)dx± f2(x)dx±…± fm(x)dx. (2)区间的可加性的推广: f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+…+ f(x)dx. 【跟踪训练】 设f(x)= 则 f(x)dx的值是 (　　) 【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同,所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D. 类型二　定积分几何意义的应用 【典例2】(1)计算: (2x-4)dx=________.? (2)用图象表示下列定积分:① log2xdx;② xdx. 【解题指南】(1)利用定积分的几何意义计算. (2)从定积分的几何意义入手,①画出函数y=log2x与直线x=1,x=2的图象及直线y=x,x=2,x=6的图象. 【解析】(1)如图,A(0,-4),B(6,8), M(2,0),S△AOM= ×2×4=4, S△MBC= ×4×8=16, 所以 (2x-4)dx=16-4=12. 答案:12 (2)① log2xdx表示曲线y=log2x,直线x=1,x=2及x轴 围成的平面图形的面积,如图中阴影部分所示. ② xdx表示直线y=x,x=2,x=6及x轴围成的直角梯形的 面积,如图中阴影部分所示. 【方法总结】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 (1)准确画出各曲线围成的平面区域. (2)把平面区域分割成容易表示的几部分,同时注意x轴下方有没有区域. (3)解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. (4)根据积分的性质写出结果. 【跟踪训练】 计算定积分: 【解题指南】把定积分化为两个定积分的差,利用定积分的几何意义画出几何图形求解. 【解析】 令S1= S1,S2的几何意义如图1,2所示. 1.5.3　 定积分的概念 主题1　定积分的概念 曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题能否归结为一个特定形式和的极限的形式? 提示:能.曲边梯形面积S= 变速运动的路程s= 结论: 1.定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1x2 …xn-1xn=b将区间[a,b]_______n个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上 ___________(i=1,2,3,…,n),作和 式 当n→∞时, 等分成 任取一点ξi 上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在 区间[a,b]上的_______. 定积分 2.定积分的特征 其中: 【对点训练】 1.下列结论中成立的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.①中 故①不成立.由 定积分的定义知,②、③成立. 2.若 f(x)dx=6,则 =________.? 【解析】由定积分的定义 f(x)dx= 可得. 答案:6 主题2　定积分的几何意义与性质 1.如果在区间[a,b]上,函数f(x)连续且恒有f(x)≥0, 则定积分 f(x)dx与由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积S有什么关系? 提示:相等. 2.如果在区间[a,b]上,f(x)连续且恒有函数f(x)≤0, 则定积分 f(x)dx与由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积S有什么关系? 提示:互为相反数. 结论: 1.几何意义:由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0),直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为_________. 2.物理意义:设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时 间区间[a, b]内运动的距离s为________. v(t)dt 3.定积分的性质 【对点训练】 1.如图所示, f(x)dx= (　　) A.S1+S2+S3 B.S1-S2+S3 C.-S1+S2-S3 D.-S1-S2+S3 【解析】选C.由定积分的几何意义知当f(x)≥0时, f (x)dx表示面积S,当f(x)≤0时, f(x)dx=-S. 2.说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值: 【解析】(1) 5dx表示的是图①中阴影部分所示的长 方形的面积