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4.1 应力分析 第四章 金属塑性变形的力学根底 思考 〔1〕应力张量、应力张量不变量 〔2〕主应力、主切应力、最大切应力 学习文档 定义由假设干坐标系改变时满足肯定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量 张量〔tensor)是几何与代数中的根本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们了解向量可以看成一维的“表格〞〔即重量按照顺序排成一排〕， 矩阵是二维的“表格〞〔重量按照纵横位置排列〕， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格〞。 应力和应变是二阶张量。 学习文档 坐标系 直角坐标系中单元体上的应力重量 圆柱坐标系中单元体上的应力重量 自然界的物质的性质和规律是一种客观存在，不受描述它的方法的影响 学习文档 一点的应力状态应该用通过该点无限多个截面上的应力矢量所构成的矢量集合来表示，该矢量集合称为应力张量。 应力张量 表示X平面 表示Y平面 表示Z平面 表示X方向 表示Y方向 表示Z方向 学习文档 三维应力状态分析 坐标系不同，应力重量将有不同的数值，但应力状态没有变化。 任意斜切微分面上的应力 学习文档 学习文档 学习文档 主平面上的应力 主应力 学习文档 三维应力状态下的主应力 斜微分面某一方向，剪应力等于零，该微分面为主平面，主平面的法线方向为主方向，在该面上的正应力σ为主应力。 方程组是以l、m、n为变量的齐次线性方程组，其解就是应力主轴的方向，该解为非零解。 学习文档 依据线性方程理论，只有系数行列式等于零时，该方程组才有非零解。 其中 l=m=n=0为一组解，但是方向余弦之间必须满足以下关系： 学习文档 展开行列式整理得： 对于一个确定的应力状态，三个主应力是唯一的，因此特征方程的系数J1、J2、J3的数值与坐标系的选择无关。 应力张量不变量 学习文档 主切应力和最大切应力 与斜微分面上的正应力相同，切应力也随着斜微分面的方位而改变，且应力到达极值的平面称为主切应力平面，该切应力称为主切应力。 学习文档 学习文档 切应力极值方位〔主平面、主切应力平面〕〕 学习文档 主切平面上的正应力、切应力 学习文档 主切应力中绝对值最大的一个，就是该点所说的最大切应力，以 表示。设 则最大切应力为： 学习文档 学习文档 应力的第一、第二、第三不变量分别为： 则应力状态特征方程为： 解方程得主应力为： 求主应力方向，即为解以下方程，求出方向余玄 ，将以下方程联立求解可得： 时，主应力方向为 当 当 时，主应力方向为 可得：当 时，主应力方向为 学习文档 位移及其重量 4.2 应变分析 应变是表示变形大小的物理量 受力物体内一点的位移及其重量 位移：变形体内任一点变形前后的直线距离 位移重量：一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影 学习文档 应变及其重量 ※名义应变是线尺寸增量与最初线尺寸之比来表示。 ※对数应变又称为真实应变，指工件变形后的线尺寸与变形前的线尺寸之比的自然对数值 学习文档 学习文档 应变分析 学习文档 位移重量与应变重量之间关系 学习文档 ※应变重量 在坐标轴上单位长度的线变形称为正应变,一般用ε表示;将单位长度上两棱边所夹直角的变化称为相对切应变,用Φ表示, Φ可以认为是两棱边同时向内偏转相同的角度造成的,称其为切应变。则： 学习文档 ※应变张量 ※应变状态分析 在变形物体中，取出一个微小的平行六面体，研究该微小平行六面体变形，将六面体的各个面投影到直角坐标系的各坐标面上，通过研究每个坐标面上投影的变形来研究整个平行六面体的变形。 学习文档 变形体内无限接近两点的位移重量及位移增量 学习文档 变形体内无限接近两点，其中任意点A的坐标为〔x,y,z〕，小变形后移至A`点，位移矢量A A`在三个坐标轴x、y、z上的投影为u、v、w，；另一点B为〔x+dx,y+dy,z+dz〕, 小变形后移至B`点，则有下式成立： 学习文档 ※主应变、主切应变 过变形体内一点存在三个相互垂直的应变主方向，该方向只有线应变没有切应变，称为主应变，用ε1、ε2、ε3表示。此时应变状态特征方称为： 其中： 应变状态特征方程的三个根即为三个主应变。 学习文档 与主切应力相似，相应的在与应变主方向成±45°角的方向存在三个相互垂直线元，称为主切应变，主切应变γ12、γ23、γ31计算公式为： 学习文档 学习文档 学习文档 下节课主要内容： 4.3 屈服准则 〔1〕什么是屈服准则？ 〔2〕会表达屈雷斯加屈服准则、米塞斯屈服准则，会利用两个屈服准则进行推断。 学习文档 金属材料焊