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一次函数与图形的面积教学设计
教学目标:
会利用一次函数解析式,求图像的交点坐标,会将点的坐标转化两点之间的距离,进而求得几何图形的面积;
掌握利用数形结合以及转化的思想解决问题的方法;
教学重点:能根据函数的表达式求三角形的面积;
教学难点:在解题过程中,体会数形结合的方法,了解求面积的问题的本质即为坐标与距离的相互转化。
教学过程:
环节一:知识链接
1.观察:下面△ABC在平面直角坐标系中的位置有何特点?
通过观察我们可以发现: △ABC的一边有的在坐标轴上,有的平行于坐标轴
过渡语:具有这样特点的三角形,在平面直角坐标系内怎样求面积?
2.思考:在平面直角坐标系中,该怎样求三角形的面积?
过渡语:
三角形的面积公式是:底×高÷2
要想求△ABC的面积, 首先,在平面直角坐标系中,读出ABCD四点坐标,其次,确定以平行于坐标轴的BC为底,AD为高,再求线段BC和AD长度,线段BC长度转化成B和C两点之间的距离,即BC 两点纵坐标之差的绝对值.线段AD长度转化成A和D两点之间的距离, 即AD两点横坐标之差的绝对,因此
BC=∣yB-yC∣=∣5-(-4)∣=9;
AD=∣xA-xD ∣=∣2-(-1)∣=3
最后直接利用面积公式求出S△ABC=9×3÷2=13.5
过渡语:在一次函数又怎样求三角形的面积?
环节二:专题探究
1.如图,直线 y= -x+6与直线y=2x-6相交于点A
(01)求交点A坐标;
过渡语:在一次函数中,每条直线都可看作是一个一次函数,借助函数解析式便可求出交点坐标。
(02)求两直线与x=1围成的三角形的面积;
(1)点A是直线 y= -x+6与直线y=2x-6交点,利用函数y= -x+6与y=2x-6的解析式的公共解可求得A(4,2)
(2)两直线与x=1围成的三角形的面积即△ABC的面积:首先,利用函数解析是函数y= -x+6与y=2x-6求出与x=1轴的交点B C的坐标,其次,利用点的坐标求得线段B C和A D长度,最后直接利用面积公式求解:
B(1,5 ) C(1,-4 ) A(4 ,2 ) D(1,2)
BC=∣-4-5∣=9 AD = ∣4-1∣ =3
S△ABC=BC×AD÷2=9×3÷2=13.5
拓展:如图,直线y=-x+6与直线y=2x-6相交于点A ,两条直线与y=-7x+12分别交于B 、C两点
(01)求两条直线与y=-7x+12围成的△ABC的面积;
(02)观察:拓展题和1 题有何区别与联系?
通过观察和分析,是区别:1题中的三角形有一边是平行于坐标轴的,方便我们获得三角形的底和高,而拓展题中,三角形的任意一边都不在坐标轴也不平行于坐标轴;联系:依旧是在在一次函数中求三角形的面积,仍然需要函数解析求图像的交点坐标.
过渡语:先面我们具体看一下如何求△ABC的面积呢?
方法一:补形法
过渡语:通过补形法,我们将求△ABC的面积转化成求长方形ADEF的面积减去三个直角三角形的面积差,进而间接的求△ABC的面积
S△ABC=SADEF-(S△AFC+S△ADB+S△BEC)
=21-12
=9
过渡语:方法二:分割法,我们将三边都不在坐标轴也不平行于坐标轴的△ABC进行分割,转化一边是在坐标轴或平行于坐标轴的两个三角形,利用求分割后的两个三角形的面积和,间接的求△ABC的面积。
方法二:分割法
纵向分割,分成△BMA△BMC两个三角形,BM为底, AE+CF的和为高:AC两点横坐标之差的绝对值
S△ABC = S△BMA + S△BMC
= BM × (AE+CF) ÷2
= ∣yM-yB ∣ × ∣xA-xC∣ ÷2
= 6×3 ÷2
= 9
横向分割
S△ABC = S△AMC + S△BMC
= MC×(AE+BF) ÷2
=∣ xM-xC ∣×∣ yA-yB ∣÷2
= 187 ×7 ÷
= 9
环节三:规律发现
利用一次函数求图形的面积问题中,做题的一般思路如下:
首先,借助函数解析求图像的交点坐标,其次确定三角形的底和高,利用两点之间的距离求出底和高的长度,最后面积公式求解
情况1:一边在坐标轴上或平行于坐标轴(规则图形)
确定并求出三角形的底和高
直接利用三角形面积公式求解
情况2:三边均不在坐标轴上 或不平行于坐标轴 (不规则图形)
1.借助割或补的方法进行转化底和高与横纵座标轴平行的图形
2.间接求出三角形的面积
环节四:类题演练
过渡语:暂停视频,独立完成
1.已知:如图,直线y=2x-2 与
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