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【目录】
一、 数学
第一章 实数
第一节 基础知识
【知识导图】
【本单元学习目标】
1.能对实数正确分类;
2.理解实数的有关概念并能对实数的性质灵活应用;
3.熟练掌握实数的有关运算;
4.能够用实数的有关知识解决实际问题.
本单元重点:实数的有关概念:倒数、相反数、绝对值等;科学记数法;实数的比较与计算.
本单元难点:科学计数法及用实数的有关知识解决实际问题.
【基础知识】
一、实数
1.实数
(1)实数:有理数和无理数统称为实数.
(2)有理数:能精确地表示为两个整数之比的数叫做有理数. 有理数包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数.如2、-3、等都为有理数.
(3)无理数:无限不循环小数叫做无理数.如:3.252252225…、等都为无理数.
【博士小提醒】
【博士小提醒】
1.判断一个数是否是无理数时,要看最终的化简结果;
2.无理数常分为以下几类
= 1 \* GB3 ①开方开不尽的数,如、等;
= 2 \* GB3 ②无限不循环小数,如5.212212221…等;
= 3 \* GB3 ③用三角函数表示,或者用π表示的数,如等 .
(4)实数的分类
①按数的“定义”分类
②按数的“正负性”分类
2.数轴
(1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.
(2)实数与数轴上的点建立了一一对应的关系.
(3)数轴上点的大小比较:数轴上右边的点总是大于左边的点.
【博士小提醒】
【博士小提醒】
1.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示;
2.一般取向右的方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数;
3.常常借助数轴来比较大小.
3.相反数
(1)求法:的相反数是.如:3的相反数是-3.
(2)性质:若与互为相反数,则,.
4.倒数
(1)求法:的倒数是.如:的倒数是.
(2)性质:若互为倒数,则.
5.绝对值
(1)求法:.如:.
(2)性质:非负性,即;表示数轴上点到原点的距离.
6.科学计数法
(1)定义:把一个数写成的形式(其中,是整数),这种记数的方法叫做科学计数法.如:9 370 000 000用科学计数法表示为.
(2)条件:;等于原数整数位数减1.
7.近似数和有效数字
(1)对于一个近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.如:0.0025020有效数字共有5个.
(2)精确度的形式
①精确到哪一位数;如:3.1415精确到百分位是3.14.
②保留几个有效数字.如:2.9716保留四个有效数字是2.972.
8.估算
(1)本质:所谓的估算,就是在一定的范围内对计算结果进行大致的估计.它的本质就是在不要求准确值的情况下,在允许的范围内,迅速找出精确值.如估算的整数位等.
(2)方法
①取整法.这是估算中经常用到的方法,即用四舍五入(也可根据实际情况)取数的近似值,再计算结果.
②观察估算法.即观察算式、数据、图形的特点,从整体或局部对结果进行分析或审查判断出结论.
二、实数的运算
1.乘方与开方
(1)乘方
①定义:求个相同乘数乘积的运算叫做乘方.
②底数:在中,相同的乘数叫做底数.如:在中,10叫做底数.
③指数:在中,的个数n叫做指数. 如:在中,9叫做指数.
④幂:乘方运算的结果叫做幂.
⑤读法:读作的次方,如果把看作乘方的结果,则读作的次幂.的二次方(或的二次幂)也可以读作的平方;的三次方(或的三次幂)也可以读作的立方.
⑥一次幂:每一个自然数都可以看作这个数的一次方,也叫作一次幂。如:3可以看作.当指数是1时,通常省略不写.
⑦零次幂:任何一个非零数的数的零次幂都等于1,即.
(2)方根及性质
平方根
算术平方根
立方根
正数
0
0
0
0
负数
无
无
2.实数的大小比较
(1)差值比较法
①若,则;
②若,则;
③若,则.
(2)倒数比较法
若或,则.
(3)平方比较法
①若,则;
②若,则.
(4)商值比较法
①若(),则;
②若,则;
③若(),则.
3.实数的运算
(1)运算律
①加法交换律:
②加法结合律:
③乘法交换律:
④乘法结合律:
⑤乘法分配律:
(2)实数的运算顺序
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