（可修改）第2讲 映射概念.pptVIP

* 映射概念 映射的定义 映射的性质 逆映射 复合映射 .......... 181h， * 1 映射的定义 设 A, B 是任意给定的两个集合，假设存在一个对应法那么f，使得对于任意x∈A，均存在唯一的 y ∈B与它对应, 那么称 f 是A到B的一个映射，记为 f:A?B，且y=f(x)。 一 映射的定义 .......... 181h， * 注意：映射 f 本质上定义为一个对应，这种对应有可能有解析表达式〔正如我们通常见到的一样〕，但也可能不存在相应的表达式，如 A={ a, b, c }, B={0, 1} 规那么f: a 对应于0， b对应于1， c对应于1。 f 即为 A到B的一个映射。 又如 A 为有理数集, B为实数集 特征函数 假定A是论域U上的集合，定义 .......... 181h， * 2 映射的相等 设 f, g 是A到B 的两个映射，假设对于任意x∈A，均有 f(x) = g(x), 那么称映射f, g是相等的，或是同一映射。 .......... 181h， * 3 几个相关的称谓 假定 f:A?B, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。 对映射而言： 对映射 f:A?B 而言, 必有 dom f = A, ran f ?B 且如前所述，把因变量 y 称为 x 在映射f下的像或函数值，记为 y=f(x). .......... 181h， * 定义：设 f:A?B, 令 X ?A，用 f(X) = {f(x) | x∈X} 表示 X 在映射f下的像。 同理令Y ?B，用 表示Y在映射f下的原像。 注：这里的 是一个整体记号。 .......... 181h， * 对于集合 A 和B，用 (B上A)表示A到B的所有映射组成的集合，即有 【例1-5】若 求 x1 x2 x3 y1 y2 .......... 181h， * 定理：对于集合 A 和B，若|A|=m, |B|=n，则 注意: B上A的记号与该结论的关系. 证明：设 f:A?B, 对于任意的 x∈A,显然 f(x) 可取B中n个元素中任意一个， 而 |A|=m, 根据乘法原理，结论成立。 .......... 181h， * n元函数定义 在函数定义中，假设 ，那么对任意 x∈A，有 ,这时 称 f 为 到 B 的n元函数。 .......... 181h， * 二 映射的性质 1 单射 定义：f:A?B, 假设对任意 , ∈A，由 可推出 ，〔或 〕，那么称 f 是 A 到 B的单射，或称 f 是 A 到 B 的一对一映射。 2 满射 定义：f:A?B, 假设对任意y∈B，均存在x∈A，使得y=f(x)，那么称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的映上的映射。 3 双射 定义：f:A?B, 假设f既是单射又是满射，那么称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。 .......... 181h， * .......... 181h， * 5 置换 假设 A 是有限集合，通常把 A 到 A的双射称为 A 上的置换。 4 变换 集合 A 到自身的映射习惯上称为 A 的一个变换。 例1.建立一个Z到N的一一对应。 例2.建立一个(0,1)到R的一一对应。 例3. 写出A={1,2,3}上的所有置换。 .......... 181h， * 三 逆映射 1 定义 设f:A?B, 假设将对应关系逆转，能够得到一个集合B到集合A的映射，那么该映射称为f的逆映射或逆函数，常称为反函数,记为 。 2 定理 设f:A?B, 那么 f 的逆映射存在的充要条件是：f 是双射。 .......... 181h， * 看下面映射是否存在逆映射？ .......... 181h， * 四 复合映射 定义 设f:A?B,g:B?C，对任意的 x∈A，h(x)=g(f(x)) 为 A 到 C的映射，称 h 为 f 和 g 的复合映射或复合函数，记