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函数的微分和逆矩阵求法 函数的微分和逆矩阵求法 数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 一、1.一元函数的高阶微分 定义1 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x， 且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量 ?y?f(x0??x)?f(x0)， 如果其增量可表示为 ?y?A?x?o(?x)， 其中A不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处一阶可微，并称A?x为函数y?f(x)在点x0处的一阶微分，记作dy，即 dy|x?x0?A?x。 可证 A=f(x0) 即 dy|x?x0?f(x0)dx。 定义2 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量 ?y?f(x0??x)?f(x0) 如果其增量可表示为 ?y?A?x?B2!??x?2?o(?x)， 2其中A，B不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处二阶可微，并称A?x，B(?x)为函数 y?f(x)在点x0处的一阶微分、二阶微分，记作dy,dy，即 dy|x?x0?A?x，dy|x?x?B(?x)。 0222可证 A?f(x0),B?f(x0) 即 dy|x?x0?f(x0)dx，dy?f?x0?dx。 22根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分 定义3 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量 ?y?f(x0??x)?f(x0) 如果其增量可表示为 ?y?A1?x?A22!??x?2???1 Ann!??x?n?o??x?， n 其中A，B不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处n阶可微，并称dy??tantdxdy?2(?tant)(acost)?sect223dx?tantdx2222为函数y?f(x)在点x0处的一阶微分、二阶微分……n阶微分， dx?tantdx??3acostsint记作dy,d2y，……，dny即 dy|x?x0?A1?x,dy|x?x0?A2(?x)，……，dy|x?x0?An(?x)。 22nn又根据函数f(x)在x?x0点的泰勒公式 f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?f(x0)2!(x?x0)???2f?n??x0?n!f?n??x?x0?n?o?xn?， ?n得 ?y?f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?f(x0)2!(x?x0)????2?x0?n!?n??x?x0?n?o??x 即 A1?f?x0?,A2?f?x0?，……，An?f?x0? ?n?所以 dy|x?x0?f(x0)dx，dy?f?x0?dx，……，d22?n?y|x?x0?f?x0?dxn。 注： 1．在泰勒公式中x?x0与?x是等价的。 2．因为o??x?是??x?的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个o??x?都不会影响到的精确度。 nnn2、微分的运算法则 1．d??f?x??g?x????df?x??dg?x?； 2．d??f?x??g?x????g?x?df?x??f?x?dg?x?； ?f?x??g?x?df3．d???gx?????x??f?x?dg?x? ?g?x??0?； 2g?x?dydxdydududx?f?g?x??g?x?4．复合函数的微分 ??? ?dy?f?g?x??g?x?dx 3、参数方程的微分 在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。 解参数方程 2 { 的二阶微分。 解：因为， dydx?y?x???t?,y???t? ??t???t?， 所以， dy?ydx ?1? ???t???t?2dx， 2dy?d(ydx)?ydx?yd(dx) ?2?