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矩阵的对角化 （李体政 徐宗辉）  教学目标与要求 通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方 法, 特别是实对称矩阵的对角化方法.  教学重点与难点 教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化. 教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵.  教学方法与建议 先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对 角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角 化的两个核心问题: (1)对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题); (2)对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化. 围绕这两个问题,完成本节课的教学任务.  教学过程设计 1. 问题的提出 我们先引入相似矩阵的概念: A B P 定义1: 对于阶数相同的方阵 和 , 若存在可逆方阵 , 使得 1 P AP B 1 A B A B A P AP A 则称矩阵 与 相似, 记为 , 而对 进行的运算 称为对 进行的相似变换, P A B 可逆方阵 称为把 变为 的相似变换矩阵. 利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论: 性质1: 设 A B, 则有 1) A  B ;     2) r A r B ;   3) IA  IB, 从而具有相同的特征值. A B A B 说明: 性质 1 表明, 假如矩阵 与 相似, 则 与 具有相同的行列式、相同的秩 A   以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若 与一个对角矩阵 相似, 那么 的主对角线 A n 元素恰好就是 的 个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵 , 我们进一步会 问: 1 A P P AP 1) 是否对任何方阵 , 都存在相似变换矩阵 , 使 (对角矩阵)? n A P 1 P 2) 对 阶方阵 ,若存在相似变换矩阵 ,使P AP, 如何构造 ? 2. 一般方阵的对角化    我们先来讨论第二个问题. 设Adiag( , ,, ), 并设P(p ,p ,,p ) 1 2 n 1 2 n 1 AP P 可逆, 由P AP得 , 即有