专题：椭圆的焦点三角形.pdf

椭圆的焦点三角形 一 知识梳理 定义： 椭圆 （双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形； 有一个角为直角的焦点 三角形叫焦点直角三角形。 性质一： 该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值 2a+2c 2 2 性质二： 已知椭圆方程为 x 2 y2 1(a b 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角 a b 形 PF F 中 F PF ,则 S b2 tan . 1 2 1 2 F PF 1 2 2 y 证明：记 | PF | r ,| PF | r ， P 1 1 2 2 2 2 由椭圆的第一定义得 r1 r2 2a, (r1 r2 ) 4a . F 1 O F2 x 在△ F PF 中，由余弦定理得： r 2 r 2 2r r cos (2c) 2 . 1 2 1 2 1 2 配方得： (r r )2 2r r 2r r cos 4c2 . 1 2 1 2 1 2 即 4a2 2r r (1 cos ) 4c2 . 1 2 2 2 2 2(a c ) 2b r r . 1 2 1 cos 1 cos 由任意三角形的面积公式得： 2 sin cos 1 2 sin 2 2 2 2 S r r sin b b b tan F PF 1 2 . 1 2 2 1 co