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求数列前 N项和的七种方法
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核心提示： 求数列的前 n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公
式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注
意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
1. 公式法
等差数列前 n 项和：
n(a1 an ) n(n 1)
S na d
n 1
2 2
特别的， 当前 n 项的个数为奇数时， S (2k 1) a ，即前 n 项和为中间项乘以项数。
2 k 1 k 1
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前 n 项和：
q=1 时， S na
n 1
n
a1 1 q
q 1，Sn ，特别要注意对公比的讨论。
1 q
其他公式：
n 1 n 2 1
1、 S k n(n 1) 2、 S k n(n 1)(2n 1)
n n
k 1 2 k 1 6
n 3 1 2
3、 Sn k [ n(n 1)]
k 1 2
1 2 3 n
[例 1] 已知 log3 x ，求 x x x x 的前 n 项和 .
log 3
2
1 1
解：由 log3 x log 3 x log3 2 x
log2 3 2
2 3 n
由等比数列求和公式得 Sn x x x x （利
用常用公式）
1 1
n (1 n )
x (1 x ) 2 2 1
＝ ＝ ＝1－
1 x 1 2n
1
2
* Sn
[例 2] 设 Sn＝1+2+3+ …+n ，n ∈N ,求 f (n) 的最大值 .
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