欧拉法与龙格库塔法比较分析.pdf

解微分方程的欧拉法，龙格 - 库塔法简单实例比较 欧拉方法 （Euler method)用以对给定初值的常微分方程 (即初值问题 )求解分为前 EULER 法、后退 EULER 法、改进的 EULER 法。 缺点： 欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算， 当步数增多时， 误差会 因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。 改进欧拉格式（向前欧拉公式） ： 为提高精度， 需要在欧拉格式的基础上进行改进。 采用区间两端的斜率的平均值 作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。 算法： 微分方程的本质特征是方程中含有导数项， 数值解法的第一步就是设法消除其导 数值。对于常微分方程： dy f (x , y) x [a , b] dx y (a) y0 可以将区间 [a ,b] 分成 n 段，那么方程在第 点有 ，再用 x y (x ) f ( x , y (x )) i i i i 向前差商近似代替导数则为： (y(x 1) y(x )) i i f (x , y( x )) i i h 在这里， h 是步长， 即相邻两个结点间的距离。 因此可以根据 x 点和 y 的数 i i 值计算出 yi 1 来： y y h f (x , y ) i 0,1,2, L i 1 i i i 这就是向前欧拉公式。 改进的欧拉公式 ： 将向前欧拉公式中的导数 f (xi , yi ) 改为微元两端导数的平均， 即上式便是梯形的 欧拉公式。 可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式： 数值分析中， 龙格－库塔法 （Runge-Kutta ）是用于模拟常微分方程的解的重要 的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格 - 库塔法是欧拉方法的一种推广，向前 欧拉公式将导数项简单取为 f (xn , yn ) , 而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数 的平均。