求不定方程整数解的常用方法.pdf

求不定方程整数解的常用方法 ： 摘要 不定方程 ,是指未知数的个数多于方程的个数 ,且未知数受到某些限制的方程 或方程组 .因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或 不现实的 .本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判 别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解 . 通过一些具体的例子，给 出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐 减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定 理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等 . 关键字 ：不定方程 ; 整数解 ; 整除性 1 引言 不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密 切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了 数千年， “百钱百鸡问题”等一直流传至今， “物不知其数”的解法被称为中国剩余定 理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的 解题技能 . 中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段 . 在此阶段要注重培养学生的思 维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可 少的 . 让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技 巧的积累与总结 . 不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各 地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能 力、运算能力、解决问题能力的好材料 . 2 不定方程的定义 所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是 有理数，整数或正整数等等 ) 限制的方程或方程组 . 不定方程也称丢番图方程，是数论 的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与 代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系 . 下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结 ： 3 一般常用的求不定方程整数解的方法 (1) 分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分 离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接 观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解 . x 5 例 1 求不定方程 y 0 的整数解 x 2 解 已知方程可化为 x 5 x 2 3 x 2 3 3 y 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3 因为 y 是整数，所以 也是整数 . x 2 由此 x 2 1, 1,3, 3,即x 1, 3,1, 5 相应的 y 4 ,0,2,0. 2 所以方程的整数解为 (-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2) 辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式 ( 便于利用同余、奇偶分析的形式 ); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内