2006届清华大学自主招生数学试题.pdf

量神大数学 量神老师微信：LIANGSHENSHUXUE 2006 届清华大学自主招生数学试题 2005 年11 月28 日 1 1 1．求最小正整数 ，使得 n 为纯虚数，并求出 ． n I = ( + i) I 2 2 3 4 4 M 2．已知 为非负数，M a + b , a + b 1 ，求 的最值． a、b 3 ．已知sin 、sin 、cos 为等差数列，sin、sin 、cos为等比数列，求 1 cos2− cos2 的值． 2 4．求由正整数组成的集合 ，使 中的元素之和等于元素之积． S S 5．随机取多少个整数，才能有0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． PQ 2 6．y = x 上一点 (非原点)，在P 处引切线交x、y 轴于Q、R ，求 ． P PR 7．已知f (x) 满足：对实数a、b 有 f (a b) = af (b) +bf (a) ，且 f (x) 1 ，求证f (x) 恒 为零． (可用以下结论：若lim g(x) = 0, f (x)  M ， 为一常数，那么lim( f (x) g(x)) = 0 ) M x→ x→ AC BD 8．在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线 和 的最大值，并证明． 数学是科学之王！ 为中华之崛起而读书！