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第三章 复变函数的积分
学习要点
掌握复变函数积分的定义及基本性质
§3.1 曲线积分
掌握复变函数积分的计算
一、 光滑曲线的概念回顾:
由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为按(逐)段光滑曲线.
（1）光滑曲线上的各点都有切线
（2）光滑曲线可以求长
闭曲线正向的定义:
简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.
与之相反的方向就是曲线的负方向.
曲线方向的说明:
一般: 曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.
按(逐)段光滑的闭曲线称为周(围)线.
二、 复变函数积分的定义
关于定义的说明:
二、复积分存在的条件
定理
证明
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
由定理及曲线积分的计算法得
三、复积分计算的参数方程法
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
写出平面曲线复数参数方程的步骤：
例1
解
1) 积分路径的参数方程为
y=x
2) 积分路径的参数方程为
解:
解
四、 积分性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
证明：因为
两边取极限即可得
例2
根据估值不等式知
解
练习 计算如下积分
解
小结与思考
本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法.
思考题
思考题答案
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