培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总.docx

精品文档 精品文档 随意编辑 随意编辑 专题 01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧 . 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子 . 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值 . 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 . 想一想：若 x y n （其中 x, y , n 都是正整数） ，则 x, y, n 都是同类二次根式，为什么？ 例题与求解 1 2002  3 2003 【例 1 】 当 x 时，代数式 2 (4 x 2005x 2001) 的值是（ ） A 、0 B、－ 1 C、1 D 、 22003 （绍兴市竞赛试题） 【例 2 】 化简 ababa a b a b a g( b b ab 1 b a ) b b a b 10 10 14 14 15 15 21 21 6 4 3 3 2 ( 6 3)( 3 2) 3 15 10 2 5 6 3 3 2 18 2 3 1 （黄冈市中考试题） （2） （五城市联赛试题） （3 ） （北京市竞赛试题） （4 ） （陕西省竞赛试题） 解题思路 ：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解 . 思想精髓： 因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也 广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度 . 6【例 3 】 比 ( 6 5) 大的最小整数是多少？ 6 （西安交大少年班入学试题） 解题思路 ：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 x 6 5, y 6 5, x4 6 x3 2 x2 18 x 23 想一想 ：设 x 19 8 3, 求 x3 7 x2 5 x 15 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 形如： A B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式 . 【例 4 】 设实数 x，y 满足 ( x x2 1)( y y2 1 ，求 x＋ y 的值 . （“宗泸杯”竞赛试题） 解题思路 ：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化 . 有些竞赛培优的 Word 初中的一套 小学竞赛培优的视频讲义 小初高 各科视频讲义 新概念可 以 加我 q 468453607 威 信 t442546597 【例 5 】 （ 1 ）代数式  x2 4 (12  x)2  9 的最小值 . （2 ）求代数式 x2 8x 41 x2 4x 13 的最小值 . （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路 ：对于（ 1 ），目前运用代数的方法很难求此式的最小值， a b 的几何意义是直角边 2 2为 a，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（ 2 ） 2 2 设 y ( x 4)2 52 ( x 2)2 32 ，设 A（x， 0 ）， B(4 ， 5) ， C(2 ， 3) 相当于求 AB＋ AC 的最 小值，以下可用对称分析法解决 . 方法精髓： 解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式 . 【例 6 】 设 m a 2 a 1 a 2 a 1(1 a ，求 m10 m9 m8 m7 L m 47 的 值. 解题思路： 配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值 . 能力训练 A 级 7 3 7 3 1004 152008 1. 化简： ( )  2008 2008 （“希望杯”邀请赛试题） 3 7 35 若 x y 3 5 2, x y 3 2 5 ，则 xy＝ (北京市竞赛试题 ) 计算： 1997 1999 ( 1997 1999)( 1997 2001) ( 1999 2001)( 1999 1997) 2001 ( 2001 1997)( 2001 1999) （“希望杯”邀请赛试题） 22若满足 0 ＜x＜ y 及 1088 x y 的不同整数对（ x， y）是 （上海市竞赛试题） 2 2 如果式子 (