高考数学二轮解题方法篇：专题3 解题策略 第10讲.docVIP

第10讲　关于计算过程的再优化 [方法精要]　中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、(定积分)、概率、统计的初步计算等．《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等． 数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理．计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提．高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查．因此在高中 数学中，对于运算求解能力的培养至关重要． 提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手： 1．培养良好的审题习惯． 2．培养认真计算的习惯． 3．培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，三角函数中的辅助角公式asinx＋bcosx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)等等． 4．加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练． 5．提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论． 6．增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的． 题型一　化繁为简，优化计算过程 例1　过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　) A.eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)C．±eq \f(\r(3),3)D．－eq \r(3) 破题切入点　本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x＝my＋eq \r(2)，表示出△AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率． 答案　B 解析　由y＝eq \r(1－x2)得，x2＋y2＝1(y≥0)， 设直线方程为x＝my＋eq \r(2)，m0(m≥0不合题意) 代入x2＋y2＝1(y≥0)，整理得， (1＋m2)y2＋2eq \r(2)my＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝－eq \f(2\r(2)m,1＋m2)，y1y2＝eq \f(1,1＋m2)， 则△AOB的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)|y1－y2|＝eq \f(\r(2),2)|y1－y2|， 因为|y1－y2|＝eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2) ＝eq \r(?－\f(2\r(2)m,1＋m2)?2－\f(4,1＋m2)) ＝eq \f(2\r(m2－1),1＋m2)＝eq \f(2\r(m2－1),2＋m2－1) ＝eq \f(2,\f(2,\r(m2－1))＋\r(m2－1))≤eq \f(2,2\r(\f(2,\r(m2－1))×\r(m2－1)))＝eq \f(\r(2),2)， 当且仅当eq \f(2,\r(m2－1))＝eq \r(m2－1)， 即m2－1＝2，m＝－eq \r(3)时取等号． 此时直线方程为x＝－eq \r(3)y＋eq \r(2)， 即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(6),3)， 所以直线的斜率为－eq \f(\r(3),3). 题型二　运用概念、性质等优化计算过程 例2　如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x 破题切入点　由抛物线的定义解题． 答案　C 解析　如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 连接A1F，则△A1AF为等边三角形， 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点， 设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝eq \f(1,2)|AA1|＝eq \f(1,2