高考数学北京版大一轮精准复习精练：8.5　空间向量及其应用、空间角与距离含解析.docx

8.5　空间向量及其应用、空间角与距离 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 1.用向量证明空间中的平行和垂直关系 1.理解直线的方向向量与平面的法向量 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 3.能用向量法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 2017北京,16 用向量求空间角 面面垂直的性质 ★★★ 2016北京,17 2015北京,17 用向量求空间角、用向量证明空间中的垂直关系 线面垂直、面面垂直的判定和性质 2.用向量求空间角与距离 1.能用向量法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 2.能用向量法解决点面、线面、面面距离问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用 2013北京,17 2011北京,17 用向量求空间角、用向量证明空间中的垂直关系 线面垂直、面面垂直的判定和性质 ★★★ 分析解读　　1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养运算能力.3.本节内容在高考中常以解答题的形式,以多面体为载体,考查空间角的问题,属于中档题. 破考点 【考点集训】 考点一　用向量证明空间中的平行和垂直关系 1.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. (1)证明:CE∥平面PAB; (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 解析　(1)证明:设AD的中点为O,连接OB,OP. ∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴OP⊥AD. ∵BC=12AD=OD,且BC∥ ∴四边形BCDO为平行四边形,又∵CD⊥AD, ∴OB⊥AD,∵OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB. 过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M, 以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图. 设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0). 设P(x,0,z)(z0),由PC=2,OP=1, 得(x-1)2+1+ 即点P-1 而E为PD的中点,∴E-1 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1), ∵AP=-12, ∴-12 取y1=-1,得n=(1,-1,3). 而CE=-54,-12,34,则CE ∴CE∥平面PAB. (2)设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2), ∵BC=(0,1,0),BP=-3 ∴y2=0,-32x2+ 设直线CE与平面PBC所成角为θ, 则sin θ=|cosm,CE|=|CE·m 故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为28 方法总结　1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α) ①利用线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α. ②利用面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α. ③向量法:(i)求出平面α的法向量n和直线l的方向向量l,证明n·l=0,结合l?α可得l∥α. (ii)证明直线l的方向向量l能被平面α内的两个基向量所表示,结合l?α可得l∥α. 2.求线面角的方法. ①定义法:作出线面角,解三角形即可. ②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形. 例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由sin θ=dAB得结论 ③向量法:求出平面α的法向量n,设直线AB与α所成角为θ,则sin θ=|cosn,AB|. 最好是画出图形,否则容易出错. 考点二　空间角与距离 2.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A.15　　　　B.56　　　　C.55 答案　C　 3.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解析　(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,12 ∴PE=1, EF=-1 DP=(0,0,1). 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z). 则有n·P