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根据两点距离公式,利用椭圆方程,借助代入消元法,消去其中一个变量,得到椭圆上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式,将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解。
先看例题:
例:已知椭圆,求椭圆上的点到点的距离的最小值。
解:设椭圆上的点(,)到点M的距离
由两点间距离公式:,
由椭圆方程,可知 代入上式有
∴当=时,d取得最小值
注意:椭圆上的点x取值范围为,所以=可以取到,所以才可以取到距离最小值。
归纳整理:
焦点在x轴上的椭圆上任一点,
,(点在x轴上)
, (点在y轴上)
两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行求解, 注意变量的取值范围,;.
焦点在y轴上的椭圆类似处理。
再看一个例题,加深印象
例:设、分别为和椭圆上的点,则、两点间的最大距离是
A. B. C. D.
解:先求椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的最大距离
、两点间的最大距离是P到圆心的最大距离再加半径:
即为
总结:
1.根据椭圆不同形式的标准方程及两点距离公式,写出椭圆上点到坐标轴上点的距离关于变量x或y的函数表达式。
2.根据变量的取值范围,;,求出二次函数的最值,进而求出椭圆上点到坐标轴上点的距离最值。
练习:
1.已知点A(0,2)及椭圆eq \f(x2,4)+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值为________.
2.
.
3. 长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动,,点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)以直线AB的倾斜角α为参数,写出曲线C的参数方程;
(Ⅱ)求点P到点D(0,1)距离d的取值范围.
4. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: ?(ab0)的离心率,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
答案:
1.
解:设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,
∴|PA|2=xeq \o\al(2,0)+(y0-2)2.
∵eq \f(x\o\al(2,0),4)+yeq \o\al(2,0)=1,
∴|PA|2=4(1-yeq \o\al(2,0))+(y0-2)2
=-3yeq \o\al(2,0)-4y0+8=-3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0+\f(2,3)))2+eq \f(28,3).
∵-1≤y0≤1,而-1-eq \f(2,3)1,
∴当y0=-eq \f(2,3)时,|PA|eq \o\al(2,max)=eq \f(28,3),
即|PA|max=eq \f(2\r(21),3).
答案:eq \f(2\r(21),3)
2.
解:
3.
4.
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