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今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率范围。离心率是描述椭圆“扁平程度”的一个重要数据,它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。求椭圆的离心率范围首先从定义出发,利用椭圆上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系,结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式,有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数(式),具体问题具体对待,贵在转化。根据题设条件,借助a,b,c之间的关系,找到a,c的不等式,得到关于e的不等式,从而解得离心率e的范围。
先看例题:
例:已知是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,求椭圆离心率的范围.
解:设椭圆的焦距为2c,由椭圆的定义知
.
在中,由余弦定理得
=
=(
所以
所以.
又,故的取值范围是
归纳整理:
离心率——刻画椭圆的扁平程度。把椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率。
先借助、、之间的关系,找到、的不等式,
再得到关于的不等式,解得离心率的范围。
再看一个例题,加深印象
例:已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为________.
解:依题意及正弦定理得(注意到P不与F1F2共线),
,则有,
又因为,则,
所以整理为:,(e+1)22,又因为椭圆离心率范围在0e1,
因此.
总结:
1.根据题设条件,借助、、之间的关系,构造、的不等关系,有时需要挖掘隐含条件,如最值等。
2.在、的关系式中除以的合适次数,得到关于的齐次不等式,解得离心率的范围。
练习:
1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.
2.椭圆(ab0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设F1,F2分别是椭圆(ab0)的左右焦点,若在直线上存在点P,使△PF1F2为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆E: (ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
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